Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97254 / 101670
↖ ↑ ↗
← S 69.935954°
E 87.116089°		 ← 104.78 m → S 69.935954°
E 87.118836°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.936897°
E 87.116089°		 ← 104.78 m →
10 981 m²		 S 69.936897°
E 87.118836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741992950439453 y=0.775684356689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741992950439453 × 217)
    floor (0.741992950439453 × 131072)
    floor (97254.5)     		tx = 97254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775684356689453 × 217)
    floor (0.775684356689453 × 131072)
    floor (101670.5)     		ty = 101670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97254 / 101670 ti = "17/97254/101670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97254/101670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97254 ÷ 217
    97254 ÷ 131072     		x = 0.741989135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101670 ÷ 217
    101670 ÷ 131072     		y = 0.775680541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741989135742188 × 2 - 1) × π
    0.483978271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52046258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775680541992188 × 2 - 1) × π
    -0.551361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73215193087111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52046258} λ = 1.52046258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73215193087111))-π/2
    2×atan(0.176903316365707)-π/2
    2×0.175091827067034-π/2
    0.350183654134069-1.57079632675     		φ = -1.22061267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52046258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.116089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22061267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.935954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97254 KachelY 101670 1.52046258 -1.22061267 87.116089 -69.935954
    Oben rechts KachelX + 1 97255 KachelY 101670 1.52051052 -1.22061267 87.118836 -69.935954
    Unten links KachelX 97254 KachelY + 1 101671 1.52046258 -1.22062912 87.116089 -69.936897
    Unten rechts KachelX + 1 97255 KachelY + 1 101671 1.52051052 -1.22062912 87.118836 -69.936897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22061267--1.22062912) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22061267--1.22062912) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52046258-1.52051052) × cos(-1.22061267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343070323853196 × 6371000     		do = 104.782507534833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52046258-1.52051052) × cos(-1.22062912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34305487216186 × 6371000     		du = 104.777788190573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22061267)-sin(-1.22062912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343070323853196-0.34305487216186)×R²
    abs(1.52051052-1.52046258)×1.5451691335655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5451691335655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5451691335655e-05×40589641000000     		ar = 10981.2685975894m²