Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97253 / 101432
↖ ↑ ↗
← S 69.710489°
E 87.113343°		 ← 105.89 m → S 69.710489°
E 87.116089°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
S 69.711441°
E 87.113343°		 ← 105.88 m →
11 212 m²		 S 69.711441°
E 87.116089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741985321044922 y=0.773868560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741985321044922 × 217)
    floor (0.741985321044922 × 131072)
    floor (97253.5)     		tx = 97253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773868560791016 × 217)
    floor (0.773868560791016 × 131072)
    floor (101432.5)     		ty = 101432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97253 / 101432 ti = "17/97253/101432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97253/101432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97253 ÷ 217
    97253 ÷ 131072     		x = 0.741981506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101432 ÷ 217
    101432 ÷ 131072     		y = 0.77386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741981506347656 × 2 - 1) × π
    0.483963012695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.52041465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.5477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72074294876154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52041465} λ = 1.52041465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72074294876154))-π/2
    2×atan(0.17893316034626)-π/2
    2×0.177059387526256-π/2
    0.354118775052511-1.57079632675     		φ = -1.21667755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52041465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.113343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21667755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.710489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97253 KachelY 101432 1.52041465 -1.21667755 87.113343 -69.710489
    Oben rechts KachelX + 1 97254 KachelY 101432 1.52046258 -1.21667755 87.116089 -69.710489
    Unten links KachelX 97253 KachelY + 1 101433 1.52041465 -1.21669417 87.113343 -69.711441
    Unten rechts KachelX + 1 97254 KachelY + 1 101433 1.52046258 -1.21669417 87.116089 -69.711441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21667755--1.21669417) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21667755--1.21669417) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52041465-1.52046258) × cos(-1.21667755) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3467639545372 × 6371000     		do = 105.888545088372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52041465-1.52046258) × cos(-1.21669417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346748365719932 × 6371000     		du = 105.883784855486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21667755)-sin(-1.21669417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3467639545372-0.346748365719932)×R²
    abs(1.52046258-1.52041465)×1.55888172684304e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55888172684304e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55888172684304e-05×40589641000000     		ar = 11211.8645821173m²