Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97250 / 101665
↖ ↑ ↗
← S 69.931242°
E 87.105102°		 ← 104.81 m → S 69.931242°
E 87.107849°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.932185°
E 87.105102°		 ← 104.80 m →
10 984 m²		 S 69.932185°
E 87.107849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741962432861328 y=0.775646209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741962432861328 × 217)
    floor (0.741962432861328 × 131072)
    floor (97250.5)     		tx = 97250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775646209716797 × 217)
    floor (0.775646209716797 × 131072)
    floor (101665.5)     		ty = 101665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97250 / 101665 ti = "17/97250/101665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97250/101665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97250 ÷ 217
    97250 ÷ 131072     		x = 0.741958618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101665 ÷ 217
    101665 ÷ 131072     		y = 0.775642395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741958618164062 × 2 - 1) × π
    0.483917236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52027083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775642395019531 × 2 - 1) × π
    -0.551284790039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73191224637301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52027083} λ = 1.52027083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73191224637301))-π/2
    2×atan(0.176945722430138)-π/2
    2×0.175132946014426-π/2
    0.350265892028852-1.57079632675     		φ = -1.22053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52027083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.105102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.931242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97250 KachelY 101665 1.52027083 -1.22053043 87.105102 -69.931242
    Oben rechts KachelX + 1 97251 KachelY 101665 1.52031877 -1.22053043 87.107849 -69.931242
    Unten links KachelX 97250 KachelY + 1 101666 1.52027083 -1.22054688 87.105102 -69.932185
    Unten rechts KachelX + 1 97251 KachelY + 1 101666 1.52031877 -1.22054688 87.107849 -69.932185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22053043--1.22054688) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22053043--1.22054688) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52027083-1.52031877) × cos(-1.22053043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343147571524441 × 6371000     		do = 104.806100961986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52027083-1.52031877) × cos(-1.22054688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343132120297269 × 6371000     		du = 104.801381759494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22053043)-sin(-1.22054688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343147571524441-0.343132120297269)×R²
    abs(1.52031877-1.52027083)×1.54512271718366e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54512271718366e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54512271718366e-05×40589641000000     		ar = 10983.741265918m²