Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9725 / 7141
↖ ↑ ↗
← N 22.492257°
E 33.684082°		 ← 2 257.36 m → N 22.492257°
E 33.706055°		 →
↑
2 257.50 m
↓
↑
2 257.50 m
↓
N 22.471955°
E 33.684082°		 ← 2 257.69 m →
5 096 370 m²		 N 22.471955°
E 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593597412109375 y=0.435882568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593597412109375 × 214)
    floor (0.593597412109375 × 16384)
    floor (9725.5)     		tx = 9725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435882568359375 × 214)
    floor (0.435882568359375 × 16384)
    floor (7141.5)     		ty = 7141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9725 / 7141 ti = "14/9725/7141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9725/7141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9725 ÷ 214
    9725 ÷ 16384     		x = 0.59356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7141 ÷ 214
    7141 ÷ 16384     		y = 0.43585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59356689453125 × 2 - 1) × π
    0.1871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58789814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    0.1282958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.403053452005432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58789814} λ = 0.58789814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403053452005432))-π/2
    2×atan(1.49638687440528)-π/2
    2×0.981680135740103-π/2
    1.96336027148021-1.57079632675     		φ = 0.39256394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58789814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.684082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39256394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.492257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9725 KachelY 7141 0.58789814 0.39256394 33.684082 22.492257
    Oben rechts KachelX + 1 9726 KachelY 7141 0.58828163 0.39256394 33.706055 22.492257
    Unten links KachelX 9725 KachelY + 1 7142 0.58789814 0.39220960 33.684082 22.471955
    Unten rechts KachelX + 1 9726 KachelY + 1 7142 0.58828163 0.39220960 33.706055 22.471955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39256394-0.39220960) × R
    0.000354340000000009 × 6371000     		dl = 2257.50014000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39256394-0.39220960) × R
    0.000354340000000009 × 6371000     		dr = 2257.50014000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58789814-0.58828163) × cos(0.39256394) × R
    0.000383490000000042 × 0.923931240563718 × 6371000     		do = 2257.36247188857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58789814-0.58828163) × cos(0.39220960) × R
    0.000383490000000042 × 0.92406673836313 × 6371000     		du = 2257.69352211611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39256394)-sin(0.39220960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923931240563718-0.92406673836313)×R²
    abs(0.58828163-0.58789814)×0.000135497799412243×R²
    0.000383490000000042×0.000135497799412243×6371000²
    0.000383490000000042×0.000135497799412243×40589641000000     		ar = 5096369.82261113m²