Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97249 / 101857
↖ ↑ ↗
← S 70.111419°
E 87.102356°		 ← 103.88 m → S 70.111419°
E 87.105102°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
S 70.112354°
E 87.102356°		 ← 103.88 m →
10 794 m²		 S 70.112354°
E 87.105102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741954803466797 y=0.777111053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741954803466797 × 217)
    floor (0.741954803466797 × 131072)
    floor (97249.5)     		tx = 97249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777111053466797 × 217)
    floor (0.777111053466797 × 131072)
    floor (101857.5)     		ty = 101857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97249 / 101857 ti = "17/97249/101857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97249/101857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97249 ÷ 217
    97249 ÷ 131072     		x = 0.741950988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101857 ÷ 217
    101857 ÷ 131072     		y = 0.777107238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741950988769531 × 2 - 1) × π
    0.483901977539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.52022290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777107238769531 × 2 - 1) × π
    -0.554214477539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.74111613110006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52022290} λ = 1.52022290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74111613110006))-π/2
    2×atan(0.17532460612566)-π/2
    2×0.173560609544418-π/2
    0.347121219088836-1.57079632675     		φ = -1.22367511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52022290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.102356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22367511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.111419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97249 KachelY 101857 1.52022290 -1.22367511 87.102356 -70.111419
    Oben rechts KachelX + 1 97250 KachelY 101857 1.52027083 -1.22367511 87.105102 -70.111419
    Unten links KachelX 97249 KachelY + 1 101858 1.52022290 -1.22369142 87.102356 -70.112354
    Unten rechts KachelX + 1 97250 KachelY + 1 101858 1.52027083 -1.22369142 87.105102 -70.112354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22367511--1.22369142) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22367511--1.22369142) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52022290-1.52027083) × cos(-1.22367511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340192139938151 × 6371000     		do = 103.881762441621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52022290-1.52027083) × cos(-1.22369142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3401768026874 × 6371000     		du = 103.877079027598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22367511)-sin(-1.22369142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340192139938151-0.3401768026874)×R²
    abs(1.52027083-1.52022290)×1.53372507506466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53372507506466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53372507506466e-05×40589641000000     		ar = 10794.2155269996m²