Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97248 / 101474
↖ ↑ ↗
← S 69.750452°
E 87.099609°		 ← 105.71 m → S 69.750452°
E 87.102356°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
S 69.751403°
E 87.099609°		 ← 105.71 m →
11 173 m²		 S 69.751403°
E 87.102356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741947174072266 y=0.774188995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741947174072266 × 217)
    floor (0.741947174072266 × 131072)
    floor (97248.5)     		tx = 97248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774188995361328 × 217)
    floor (0.774188995361328 × 131072)
    floor (101474.5)     		ty = 101474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97248 / 101474 ti = "17/97248/101474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97248/101474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97248 ÷ 217
    97248 ÷ 131072     		x = 0.741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101474 ÷ 217
    101474 ÷ 131072     		y = 0.774185180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741943359375 × 2 - 1) × π
    0.48388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52017496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774185180664062 × 2 - 1) × π
    -0.548370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72275629854558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52017496} λ = 1.52017496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72275629854558))-π/2
    2×atan(0.178573267722958)-π/2
    2×0.176710638386897-π/2
    0.353421276773793-1.57079632675     		φ = -1.21737505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52017496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.099609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21737505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.750452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97248 KachelY 101474 1.52017496 -1.21737505 87.099609 -69.750452
    Oben rechts KachelX + 1 97249 KachelY 101474 1.52022290 -1.21737505 87.102356 -69.750452
    Unten links KachelX 97248 KachelY + 1 101475 1.52017496 -1.21739164 87.099609 -69.751403
    Unten rechts KachelX + 1 97249 KachelY + 1 101475 1.52022290 -1.21739164 87.102356 -69.751403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21737505--1.21739164) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21737505--1.21739164) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52017496-1.52022290) × cos(-1.21737505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346109648419323 × 6371000     		do = 105.710795489542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52017496-1.52022290) × cos(-1.21739164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346094083732088 × 6371000     		du = 105.706041633425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21737505)-sin(-1.21739164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346109648419323-0.346094083732088)×R²
    abs(1.52022290-1.52017496)×1.55646872350146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55646872350146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55646872350146e-05×40589641000000     		ar = 11172.8396722946m²