Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97246 / 101871
↖ ↑ ↗
← S 70.124496°
E 87.094116°		 ← 103.82 m → S 70.124496°
E 87.096863°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.125430°
E 87.094116°		 ← 103.81 m →
10 781 m²		 S 70.125430°
E 87.096863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741931915283203 y=0.777217864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741931915283203 × 217)
    floor (0.741931915283203 × 131072)
    floor (97246.5)     		tx = 97246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777217864990234 × 217)
    floor (0.777217864990234 × 131072)
    floor (101871.5)     		ty = 101871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97246 / 101871 ti = "17/97246/101871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97246/101871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97246 ÷ 217
    97246 ÷ 131072     		x = 0.741928100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101871 ÷ 217
    101871 ÷ 131072     		y = 0.777214050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741928100585938 × 2 - 1) × π
    0.483856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52007909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777214050292969 × 2 - 1) × π
    -0.554428100585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.74178724769474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52007909} λ = 1.52007909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74178724769474))-π/2
    2×atan(0.175206982347083)-π/2
    2×0.173446491262593-π/2
    0.346892982525187-1.57079632675     		φ = -1.22390334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52007909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.094116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22390334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.124496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97246 KachelY 101871 1.52007909 -1.22390334 87.094116 -70.124496
    Oben rechts KachelX + 1 97247 KachelY 101871 1.52012702 -1.22390334 87.096863 -70.124496
    Unten links KachelX 97246 KachelY + 1 101872 1.52007909 -1.22391964 87.094116 -70.125430
    Unten rechts KachelX + 1 97247 KachelY + 1 101872 1.52012702 -1.22391964 87.096863 -70.125430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22390334--1.22391964) × R
    1.63000000001912e-05 × 6371000     		dl = 103.847300001218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22390334--1.22391964) × R
    1.63000000001912e-05 × 6371000     		dr = 103.847300001218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52007909-1.52012702) × cos(-1.22390334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339977513642002 × 6371000     		do = 103.816223720138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52007909-1.52012702) × cos(-1.22391964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339962184529729 × 6371000     		du = 103.811542791296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22390334)-sin(-1.22391964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339977513642002-0.339962184529729)×R²
    abs(1.52012702-1.52007909)×1.53291122736432e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53291122736432e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53291122736432e-05×40589641000000     		ar = 10780.7914789398m²