Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97243 / 101667
↖ ↑ ↗
← S 69.933127°
E 87.085877°		 ← 104.77 m → S 69.933127°
E 87.088623°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.934070°
E 87.085877°		 ← 104.77 m →
10 980 m²		 S 69.934070°
E 87.088623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741909027099609 y=0.775661468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741909027099609 × 217)
    floor (0.741909027099609 × 131072)
    floor (97243.5)     		tx = 97243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775661468505859 × 217)
    floor (0.775661468505859 × 131072)
    floor (101667.5)     		ty = 101667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97243 / 101667 ti = "17/97243/101667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97243/101667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97243 ÷ 217
    97243 ÷ 131072     		x = 0.741905212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101667 ÷ 217
    101667 ÷ 131072     		y = 0.775657653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741905212402344 × 2 - 1) × π
    0.483810424804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.51993528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775657653808594 × 2 - 1) × π
    -0.551315307617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73200812017225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51993528} λ = 1.51993528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73200812017225))-π/2
    2×atan(0.176928758784667)-π/2
    2×0.175116497324587-π/2
    0.350232994649173-1.57079632675     		φ = -1.22056333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51993528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.085877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22056333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.933127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97243 KachelY 101667 1.51993528 -1.22056333 87.085877 -69.933127
    Oben rechts KachelX + 1 97244 KachelY 101667 1.51998321 -1.22056333 87.088623 -69.933127
    Unten links KachelX 97243 KachelY + 1 101668 1.51993528 -1.22057978 87.085877 -69.934070
    Unten rechts KachelX + 1 97244 KachelY + 1 101668 1.51998321 -1.22057978 87.088623 -69.934070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22056333--1.22057978) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22056333--1.22057978) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51993528-1.51998321) × cos(-1.22056333) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.343116668977244 × 6371000     		do = 104.774802565308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51993528-1.51998321) × cos(-1.22057978) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.343101217564372 × 6371000     		du = 104.770084290507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22056333)-sin(-1.22057978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343116668977244-0.343101217564372)×R²
    abs(1.51998321-1.51993528)×1.54514128725136e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.54514128725136e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.54514128725136e-05×40589641000000     		ar = 10980.4611501394m²