Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97240 / 101868
↖ ↑ ↗
← S 70.121695°
E 87.077637°		 ← 103.83 m → S 70.121695°
E 87.080383°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.122629°
E 87.077637°		 ← 103.83 m →
10 782 m²		 S 70.122629°
E 87.080383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741886138916016 y=0.777194976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741886138916016 × 217)
    floor (0.741886138916016 × 131072)
    floor (97240.5)     		tx = 97240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777194976806641 × 217)
    floor (0.777194976806641 × 131072)
    floor (101868.5)     		ty = 101868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97240 / 101868 ti = "17/97240/101868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97240/101868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97240 ÷ 217
    97240 ÷ 131072     		x = 0.74188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101868 ÷ 217
    101868 ÷ 131072     		y = 0.777191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74188232421875 × 2 - 1) × π
    0.4837646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51979147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.55438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74164343699588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51979147} λ = 1.51979147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74164343699588))-π/2
    2×atan(0.175232180797519)-π/2
    2×0.173470939117392-π/2
    0.346941878234785-1.57079632675     		φ = -1.22385445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51979147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22385445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.121695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97240 KachelY 101868 1.51979147 -1.22385445 87.077637 -70.121695
    Oben rechts KachelX + 1 97241 KachelY 101868 1.51983940 -1.22385445 87.080383 -70.121695
    Unten links KachelX 97240 KachelY + 1 101869 1.51979147 -1.22387075 87.077637 -70.122629
    Unten rechts KachelX + 1 97241 KachelY + 1 101869 1.51983940 -1.22387075 87.080383 -70.122629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22385445--1.22387075) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22385445--1.22387075) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51979147-1.51983940) × cos(-1.22385445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340023491032665 × 6371000     		do = 103.830263469485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51979147-1.51983940) × cos(-1.22387075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340008162191335 × 6371000     		du = 103.825582623379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22385445)-sin(-1.22387075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340023491032665-0.340008162191335)×R²
    abs(1.51983940-1.51979147)×1.5328841330764e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5328841330764e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5328841330764e-05×40589641000000     		ar = 10782.2494732014m²