Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97240 / 101431
↖ ↑ ↗
← S 69.709536°
E 87.077637°		 ← 105.89 m → S 69.709536°
E 87.080383°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
S 69.710489°
E 87.077637°		 ← 105.89 m →
11 212 m²		 S 69.710489°
E 87.080383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741886138916016 y=0.773860931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741886138916016 × 217)
    floor (0.741886138916016 × 131072)
    floor (97240.5)     		tx = 97240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773860931396484 × 217)
    floor (0.773860931396484 × 131072)
    floor (101431.5)     		ty = 101431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97240 / 101431 ti = "17/97240/101431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97240/101431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97240 ÷ 217
    97240 ÷ 131072     		x = 0.74188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101431 ÷ 217
    101431 ÷ 131072     		y = 0.773857116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74188232421875 × 2 - 1) × π
    0.4837646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51979147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773857116699219 × 2 - 1) × π
    -0.547714233398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.72069501186192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51979147} λ = 1.51979147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72069501186192))-π/2
    2×atan(0.178941738052799)-π/2
    2×0.17706769910751-π/2
    0.35413539821502-1.57079632675     		φ = -1.21666093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51979147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21666093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.709536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97240 KachelY 101431 1.51979147 -1.21666093 87.077637 -69.709536
    Oben rechts KachelX + 1 97241 KachelY 101431 1.51983940 -1.21666093 87.080383 -69.709536
    Unten links KachelX 97240 KachelY + 1 101432 1.51979147 -1.21667755 87.077637 -69.710489
    Unten rechts KachelX + 1 97241 KachelY + 1 101432 1.51983940 -1.21667755 87.080383 -69.710489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21666093--1.21667755) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21666093--1.21667755) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51979147-1.51983940) × cos(-1.21666093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346779543258684 × 6371000     		do = 105.893305292009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51979147-1.51983940) × cos(-1.21667755) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3467639545372 × 6371000     		du = 105.888545088372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21666093)-sin(-1.21667755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346779543258684-0.3467639545372)×R²
    abs(1.51983940-1.51979147)×1.55887214837169e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55887214837169e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55887214837169e-05×40589641000000     		ar = 11212.3686228249m²