Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97239 / 101648
↖ ↑ ↗
← S 69.915214°
E 87.074890°		 ← 104.89 m → S 69.915214°
E 87.077637°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.916158°
E 87.074890°		 ← 104.88 m →
10 999 m²		 S 69.916158°
E 87.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741878509521484 y=0.775516510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741878509521484 × 217)
    floor (0.741878509521484 × 131072)
    floor (97239.5)     		tx = 97239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775516510009766 × 217)
    floor (0.775516510009766 × 131072)
    floor (101648.5)     		ty = 101648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97239 / 101648 ti = "17/97239/101648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97239/101648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97239 ÷ 217
    97239 ÷ 131072     		x = 0.741874694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101648 ÷ 217
    101648 ÷ 131072     		y = 0.7755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741874694824219 × 2 - 1) × π
    0.483749389648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.51974353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73109731907947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51974353} λ = 1.51974353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73109731907947))-π/2
    2×atan(0.177089979100187)-π/2
    2×0.175272819697708-π/2
    0.350545639395417-1.57079632675     		φ = -1.22025069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51974353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.074890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22025069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.915214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97239 KachelY 101648 1.51974353 -1.22025069 87.074890 -69.915214
    Oben rechts KachelX + 1 97240 KachelY 101648 1.51979147 -1.22025069 87.077637 -69.915214
    Unten links KachelX 97239 KachelY + 1 101649 1.51974353 -1.22026715 87.074890 -69.916158
    Unten rechts KachelX + 1 97240 KachelY + 1 101649 1.51979147 -1.22026715 87.077637 -69.916158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22025069--1.22026715) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dl = 104.866659999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22025069--1.22026715) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dr = 104.866659999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51974353-1.51979147) × cos(-1.22025069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343410312702587 × 6371000     		do = 104.88634888075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51974353-1.51979147) × cos(-1.22026715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343394853663143 × 6371000     		du = 104.881627292188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22025069)-sin(-1.22026715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343410312702587-0.343394853663143)×R²
    abs(1.51979147-1.51974353)×1.54590394439991e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54590394439991e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54590394439991e-05×40589641000000     		ar = 10998.8335182934m²