Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97238 / 101854
↖ ↑ ↗
← S 70.108616°
E 87.072143°		 ← 103.92 m → S 70.108616°
E 87.074890°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
S 70.109550°
E 87.072143°		 ← 103.91 m →
10 798 m²		 S 70.109550°
E 87.074890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741870880126953 y=0.777088165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741870880126953 × 217)
    floor (0.741870880126953 × 131072)
    floor (97238.5)     		tx = 97238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777088165283203 × 217)
    floor (0.777088165283203 × 131072)
    floor (101854.5)     		ty = 101854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97238 / 101854 ti = "17/97238/101854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97238/101854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97238 ÷ 217
    97238 ÷ 131072     		x = 0.741867065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101854 ÷ 217
    101854 ÷ 131072     		y = 0.777084350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741867065429688 × 2 - 1) × π
    0.483734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51969559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777084350585938 × 2 - 1) × π
    -0.554168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7409723204012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51969559} λ = 1.51969559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7409723204012))-π/2
    2×atan(0.17534982149287)-π/2
    2×0.173585072833347-π/2
    0.347170145666694-1.57079632675     		φ = -1.22362618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51969559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.072143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22362618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.108616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97238 KachelY 101854 1.51969559 -1.22362618 87.072143 -70.108616
    Oben rechts KachelX + 1 97239 KachelY 101854 1.51974353 -1.22362618 87.074890 -70.108616
    Unten links KachelX 97238 KachelY + 1 101855 1.51969559 -1.22364249 87.072143 -70.109550
    Unten rechts KachelX + 1 97239 KachelY + 1 101855 1.51974353 -1.22364249 87.074890 -70.109550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22362618--1.22364249) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dl = 103.911010000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22362618--1.22364249) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dr = 103.911010000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51969559-1.51974353) × cos(-1.22362618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340238151147407 × 6371000     		do = 103.917489090361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51969559-1.51974353) × cos(-1.22364249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340222814168158 × 6371000     		du = 103.912804782124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22362618)-sin(-1.22364249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340238151147407-0.340222814168158)×R²
    abs(1.51974353-1.51969559)×1.53369792488256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53369792488256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53369792488256e-05×40589641000000     		ar = 10797.9278729155m²