Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9723 / 7171
↖ ↑ ↗
← N 21.881890°
E 33.640137°		 ← 2 267.19 m → N 21.881890°
E 33.662109°		 →
↑
2 267.38 m
↓
↑
2 267.38 m
↓
N 21.861499°
E 33.640137°		 ← 2 267.52 m →
5 140 940 m²		 N 21.861499°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593475341796875 y=0.437713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593475341796875 × 214)
    floor (0.593475341796875 × 16384)
    floor (9723.5)     		tx = 9723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437713623046875 × 214)
    floor (0.437713623046875 × 16384)
    floor (7171.5)     		ty = 7171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9723 / 7171 ti = "14/9723/7171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9723/7171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9723 ÷ 214
    9723 ÷ 16384     		x = 0.59344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7171 ÷ 214
    7171 ÷ 16384     		y = 0.43768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59344482421875 × 2 - 1) × π
    0.1868896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58713115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43768310546875 × 2 - 1) × π
    0.1246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.391548596096619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58713115} λ = 0.58713115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391548596096619))-π/2
    2×atan(1.47926981250003)-π/2
    2×0.976353675243116-π/2
    1.95270735048623-1.57079632675     		φ = 0.38191102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58713115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38191102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.881890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9723 KachelY 7171 0.58713115 0.38191102 33.640137 21.881890
    Oben rechts KachelX + 1 9724 KachelY 7171 0.58751464 0.38191102 33.662109 21.881890
    Unten links KachelX 9723 KachelY + 1 7172 0.58713115 0.38155513 33.640137 21.861499
    Unten rechts KachelX + 1 9724 KachelY + 1 7172 0.58751464 0.38155513 33.662109 21.861499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38191102-0.38155513) × R
    0.00035588999999997 × 6371000     		dl = 2267.37518999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38191102-0.38155513) × R
    0.00035588999999997 × 6371000     		dr = 2267.37518999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58713115-0.58751464) × cos(0.38191102) × R
    0.000383489999999931 × 0.927954103832577 × 6371000     		do = 2267.19119092454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58713115-0.58751464) × cos(0.38155513) × R
    0.000383489999999931 × 0.928086683304752 × 6371000     		du = 2267.51511105181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38191102)-sin(0.38155513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927954103832577-0.928086683304752)×R²
    abs(0.58751464-0.58713115)×0.000132579472174377×R²
    0.000383489999999931×0.000132579472174377×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132579472174377×40589641000000     		ar = 5140940.33578007m²