Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9723 / 7149
↖ ↑ ↗
← N 22.329752°
E 33.640137°		 ← 2 260 m → N 22.329752°
E 33.662109°		 →
↑
2 260.18 m
↓
↑
2 260.18 m
↓
N 22.309426°
E 33.640137°		 ← 2 260.33 m →
5 108 380 m²		 N 22.309426°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593475341796875 y=0.436370849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593475341796875 × 214)
    floor (0.593475341796875 × 16384)
    floor (9723.5)     		tx = 9723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436370849609375 × 214)
    floor (0.436370849609375 × 16384)
    floor (7149.5)     		ty = 7149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9723 / 7149 ti = "14/9723/7149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9723/7149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9723 ÷ 214
    9723 ÷ 16384     		x = 0.59344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7149 ÷ 214
    7149 ÷ 16384     		y = 0.43634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59344482421875 × 2 - 1) × π
    0.1868896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58713115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43634033203125 × 2 - 1) × π
    0.1273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.399985490429749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58713115} λ = 0.58713115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399985490429749))-π/2
    2×atan(1.49180305206305)-π/2
    2×0.980262012825241-π/2
    1.96052402565048-1.57079632675     		φ = 0.38972770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58713115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38972770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.329752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9723 KachelY 7149 0.58713115 0.38972770 33.640137 22.329752
    Oben rechts KachelX + 1 9724 KachelY 7149 0.58751464 0.38972770 33.662109 22.329752
    Unten links KachelX 9723 KachelY + 1 7150 0.58713115 0.38937294 33.640137 22.309426
    Unten rechts KachelX + 1 9724 KachelY + 1 7150 0.58751464 0.38937294 33.662109 22.309426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38972770-0.38937294) × R
    0.00035476000000001 × 6371000     		dl = 2260.17596000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38972770-0.38937294) × R
    0.00035476000000001 × 6371000     		dr = 2260.17596000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58713115-0.58751464) × cos(0.38972770) × R
    0.000383489999999931 × 0.925012550871722 × 6371000     		do = 2260.00434522501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58713115-0.58751464) × cos(0.38937294) × R
    0.000383489999999931 × 0.925147278950199 × 6371000     		du = 2260.33351485897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38972770)-sin(0.38937294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925012550871722-0.925147278950199)×R²
    abs(0.58751464-0.58713115)×0.000134728078477364×R²
    0.000383489999999931×0.000134728078477364×6371000²
    0.000383489999999931×0.000134728078477364×40589641000000     		ar = 5108379.53479635m²