Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9721 / 7175
↖ ↑ ↗
← N 21.800308°
E 33.596192°		 ← 2 268.49 m → N 21.800308°
E 33.618164°		 →
↑
2 268.65 m
↓
↑
2 268.65 m
↓
N 21.779905°
E 33.596192°		 ← 2 268.81 m →
5 146 764 m²		 N 21.779905°
E 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593353271484375 y=0.437957763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593353271484375 × 214)
    floor (0.593353271484375 × 16384)
    floor (9721.5)     		tx = 9721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437957763671875 × 214)
    floor (0.437957763671875 × 16384)
    floor (7175.5)     		ty = 7175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9721 / 7175 ti = "14/9721/7175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9721/7175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9721 ÷ 214
    9721 ÷ 16384     		x = 0.59332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7175 ÷ 214
    7175 ÷ 16384     		y = 0.43792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59332275390625 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    0.1241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390014615308777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58636416} λ = 0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390014615308777))-π/2
    2×atan(1.47700238057075)-π/2
    2×0.975641740111523-π/2
    1.95128348022305-1.57079632675     		φ = 0.38048715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38048715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.800308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9721 KachelY 7175 0.58636416 0.38048715 33.596192 21.800308
    Oben rechts KachelX + 1 9722 KachelY 7175 0.58674765 0.38048715 33.618164 21.800308
    Unten links KachelX 9721 KachelY + 1 7176 0.58636416 0.38013106 33.596192 21.779905
    Unten rechts KachelX + 1 9722 KachelY + 1 7176 0.58674765 0.38013106 33.618164 21.779905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38048715-0.38013106) × R
    0.000356089999999976 × 6371000     		dl = 2268.64938999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38048715-0.38013106) × R
    0.000356089999999976 × 6371000     		dr = 2268.64938999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58636416-0.58674765) × cos(0.38048715) × R
    0.000383489999999931 × 0.928483831483904 × 6371000     		do = 2268.48542935693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58636416-0.58674765) × cos(0.38013106) × R
    0.000383489999999931 × 0.92861601476422 × 6371000     		du = 2268.80838150239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38048715)-sin(0.38013106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928483831483904-0.92861601476422)×R²
    abs(0.58674765-0.58636416)×0.000132183280316389×R²
    0.000383489999999931×0.000132183280316389×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132183280316389×40589641000000     		ar = 5146764.47251196m²