Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9721 / 7153
↖ ↑ ↗
← N 22.248428°
E 33.596192°		 ← 2 261.32 m → N 22.248428°
E 33.618164°		 →
↑
2 261.51 m
↓
↑
2 261.51 m
↓
N 22.228090°
E 33.596192°		 ← 2 261.65 m →
5 114 377 m²		 N 22.228090°
E 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593353271484375 y=0.436614990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593353271484375 × 214)
    floor (0.593353271484375 × 16384)
    floor (9721.5)     		tx = 9721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436614990234375 × 214)
    floor (0.436614990234375 × 16384)
    floor (7153.5)     		ty = 7153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9721 / 7153 ti = "14/9721/7153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9721/7153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9721 ÷ 214
    9721 ÷ 16384     		x = 0.59332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7153 ÷ 214
    7153 ÷ 16384     		y = 0.43658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59332275390625 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    0.1268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.398451509641907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58636416} λ = 0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398451509641907))-π/2
    2×atan(1.4895164091235)-π/2
    2×0.979552330535533-π/2
    1.95910466107107-1.57079632675     		φ = 0.38830833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38830833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.248428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9721 KachelY 7153 0.58636416 0.38830833 33.596192 22.248428
    Oben rechts KachelX + 1 9722 KachelY 7153 0.58674765 0.38830833 33.618164 22.248428
    Unten links KachelX 9721 KachelY + 1 7154 0.58636416 0.38795336 33.596192 22.228090
    Unten rechts KachelX + 1 9722 KachelY + 1 7154 0.58674765 0.38795336 33.618164 22.228090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38830833-0.38795336) × R
    0.000354969999999954 × 6371000     		dl = 2261.51386999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38830833-0.38795336) × R
    0.000354969999999954 × 6371000     		dr = 2261.51386999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58636416-0.58674765) × cos(0.38830833) × R
    0.000383489999999931 × 0.92555088945904 × 6371000     		do = 2261.31962202357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58636416-0.58674765) × cos(0.38795336) × R
    0.000383489999999931 × 0.925685231033092 × 6371000     		du = 2261.64784734421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38830833)-sin(0.38795336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92555088945904-0.925685231033092)×R²
    abs(0.58674765-0.58636416)×0.000134341574052788×R²
    0.000383489999999931×0.000134341574052788×6371000²
    0.000383489999999931×0.000134341574052788×40589641000000     		ar = 5114376.88646878m²