Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9721 / 10430
↖ ↑ ↗
← S 44.056012°
E 33.596192°		 ← 1 755.84 m → S 44.056012°
E 33.618164°		 →
↑
1 755.66 m
↓
↑
1 755.66 m
↓
S 44.071801°
E 33.596192°		 ← 1 755.37 m →
3 082 244 m²		 S 44.071801°
E 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593353271484375 y=0.636627197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593353271484375 × 214)
    floor (0.593353271484375 × 16384)
    floor (9721.5)     		tx = 9721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636627197265625 × 214)
    floor (0.636627197265625 × 16384)
    floor (10430.5)     		ty = 10430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9721 / 10430 ti = "14/9721/10430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9721/10430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9721 ÷ 214
    9721 ÷ 16384     		x = 0.59332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10430 ÷ 214
    10430 ÷ 16384     		y = 0.6365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59332275390625 × 2 - 1) × π
    0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.273193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.858262250797485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58636416} λ = 0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858262250797485))-π/2
    2×atan(0.423898071185655)-π/2
    2×0.400936933711971-π/2
    0.801873867423943-1.57079632675     		φ = -0.76892246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76892246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.056012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9721 KachelY 10430 0.58636416 -0.76892246 33.596192 -44.056012
    Oben rechts KachelX + 1 9722 KachelY 10430 0.58674765 -0.76892246 33.618164 -44.056012
    Unten links KachelX 9721 KachelY + 1 10431 0.58636416 -0.76919803 33.596192 -44.071801
    Unten rechts KachelX + 1 9722 KachelY + 1 10431 0.58674765 -0.76919803 33.618164 -44.071801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76892246--0.76919803) × R
    0.000275570000000003 × 6371000     		dl = 1755.65647000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76892246--0.76919803) × R
    0.000275570000000003 × 6371000     		dr = 1755.65647000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58636416-0.58674765) × cos(-0.76892246) × R
    0.000383489999999931 × 0.718660366250526 × 6371000     		do = 1755.84163580979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58636416-0.58674765) × cos(-0.76919803) × R
    0.000383489999999931 × 0.7184687182642 × 6371000     		du = 1755.37339861512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76892246)-sin(-0.76919803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718660366250526-0.7184687182642)×R²
    abs(0.58674765-0.58636416)×0.000191647986326315×R²
    0.000383489999999931×0.000191647986326315×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191647986326315×40589641000000     		ar = 3082243.71588028m²