Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97200 / 101784
↖ ↑ ↗
← S 70.043098°
E 86.967773°		 ← 104.25 m → S 70.043098°
E 86.970520°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.044035°
E 86.967773°		 ← 104.24 m →
10 865 m²		 S 70.044035°
E 86.970520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741580963134766 y=0.776554107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741580963134766 × 217)
    floor (0.741580963134766 × 131072)
    floor (97200.5)     		tx = 97200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776554107666016 × 217)
    floor (0.776554107666016 × 131072)
    floor (101784.5)     		ty = 101784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97200 / 101784 ti = "17/97200/101784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97200/101784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97200 ÷ 217
    97200 ÷ 131072     		x = 0.7415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101784 ÷ 217
    101784 ÷ 131072     		y = 0.77655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7415771484375 × 2 - 1) × π
    0.483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.51787399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.5531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7376167374278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51787399} λ = 1.51787399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7376167374278))-π/2
    2×atan(0.175939210687394)-π/2
    2×0.174156822952639-π/2
    0.348313645905277-1.57079632675     		φ = -1.22248268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51787399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.967773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22248268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.043098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97200 KachelY 101784 1.51787399 -1.22248268 86.967773 -70.043098
    Oben rechts KachelX + 1 97201 KachelY 101784 1.51792193 -1.22248268 86.970520 -70.043098
    Unten links KachelX 97200 KachelY + 1 101785 1.51787399 -1.22249904 86.967773 -70.044035
    Unten rechts KachelX + 1 97201 KachelY + 1 101785 1.51792193 -1.22249904 86.970520 -70.044035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22248268--1.22249904) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22248268--1.22249904) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51787399-1.51792193) × cos(-1.22248268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341313206457098 × 6371000     		do = 104.245838653863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51787399-1.51792193) × cos(-1.22249904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341297828835578 × 6371000     		du = 104.241141932431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22248268)-sin(-1.22249904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341313206457098-0.341297828835578)×R²
    abs(1.51792193-1.51787399)×1.53776215193191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53776215193191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53776215193191e-05×40589641000000     		ar = 10865.2531264571m²