Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97198 / 101654
↖ ↑ ↗
← S 69.920873°
E 86.962281°		 ← 104.84 m → S 69.920873°
E 86.965027°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.921816°
E 86.962281°		 ← 104.83 m →
10 987 m²		 S 69.921816°
E 86.965027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741565704345703 y=0.775562286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741565704345703 × 217)
    floor (0.741565704345703 × 131072)
    floor (97198.5)     		tx = 97198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775562286376953 × 217)
    floor (0.775562286376953 × 131072)
    floor (101654.5)     		ty = 101654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97198 / 101654 ti = "17/97198/101654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97198/101654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97198 ÷ 217
    97198 ÷ 131072     		x = 0.741561889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101654 ÷ 217
    101654 ÷ 131072     		y = 0.775558471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741561889648438 × 2 - 1) × π
    0.483123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.51777812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775558471679688 × 2 - 1) × π
    -0.551116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73138494047719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51777812} λ = 1.51777812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73138494047719))-π/2
    2×atan(0.177039051557152)-π/2
    2×0.175223440290098-π/2
    0.350446880580196-1.57079632675     		φ = -1.22034945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51777812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.962281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22034945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.920873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97198 KachelY 101654 1.51777812 -1.22034945 86.962281 -69.920873
    Oben rechts KachelX + 1 97199 KachelY 101654 1.51782605 -1.22034945 86.965027 -69.920873
    Unten links KachelX 97198 KachelY + 1 101655 1.51777812 -1.22036590 86.962281 -69.921816
    Unten rechts KachelX + 1 97199 KachelY + 1 101655 1.51782605 -1.22036590 86.965027 -69.921816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22034945--1.22036590) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22034945--1.22036590) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51777812-1.51782605) × cos(-1.22034945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343317557070458 × 6371000     		do = 104.83614616174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51777812-1.51782605) × cos(-1.22036590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343302106865108 × 6371000     		du = 104.831428255671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22034945)-sin(-1.22036590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343317557070458-0.343302106865108)×R²
    abs(1.51782605-1.51777812)×1.54502053499872e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54502053499872e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54502053499872e-05×40589641000000     		ar = 10986.8901594647m²