Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9719 / 7159
↖ ↑ ↗
← N 22.126355°
E 33.552246°		 ← 2 263.29 m → N 22.126355°
E 33.574219°		 →
↑
2 263.49 m
↓
↑
2 263.49 m
↓
N 22.105999°
E 33.552246°		 ← 2 263.61 m →
5 123 291 m²		 N 22.105999°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593231201171875 y=0.436981201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593231201171875 × 214)
    floor (0.593231201171875 × 16384)
    floor (9719.5)     		tx = 9719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436981201171875 × 214)
    floor (0.436981201171875 × 16384)
    floor (7159.5)     		ty = 7159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9719 / 7159 ti = "14/9719/7159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9719/7159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9719 ÷ 214
    9719 ÷ 16384     		x = 0.59320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7159 ÷ 214
    7159 ÷ 16384     		y = 0.43695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    0.1260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396150538460144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58559717} λ = 0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396150538460144))-π/2
    2×atan(1.48609301486753)-π/2
    2×0.978487034404663-π/2
    1.95697406880933-1.57079632675     		φ = 0.38617774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38617774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.126355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9719 KachelY 7159 0.58559717 0.38617774 33.552246 22.126355
    Oben rechts KachelX + 1 9720 KachelY 7159 0.58598066 0.38617774 33.574219 22.126355
    Unten links KachelX 9719 KachelY + 1 7160 0.58559717 0.38582246 33.552246 22.105999
    Unten rechts KachelX + 1 9720 KachelY + 1 7160 0.58598066 0.38582246 33.574219 22.105999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38617774-0.38582246) × R
    0.000355280000000013 × 6371000     		dl = 2263.48888000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38617774-0.38582246) × R
    0.000355280000000013 × 6371000     		dr = 2263.48888000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58559717-0.58598066) × cos(0.38617774) × R
    0.000383490000000042 × 0.926355478989949 × 6371000     		do = 2263.28540706603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58559717-0.58598066) × cos(0.38582246) × R
    0.000383490000000042 × 0.926489236878441 × 6371000     		du = 2263.61220631747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38617774)-sin(0.38582246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926355478989949-0.926489236878441)×R²
    abs(0.58598066-0.58559717)×0.000133757888492125×R²
    0.000383490000000042×0.000133757888492125×6371000²
    0.000383490000000042×0.000133757888492125×40589641000000     		ar = 5123291.25828634m²