Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9719 / 7144
↖ ↑ ↗
← N 22.431340°
E 33.552246°		 ← 2 258.35 m → N 22.431340°
E 33.574219°		 →
↑
2 258.52 m
↓
↑
2 258.52 m
↓
N 22.411029°
E 33.552246°		 ← 2 258.69 m →
5 100 912 m²		 N 22.411029°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593231201171875 y=0.436065673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593231201171875 × 214)
    floor (0.593231201171875 × 16384)
    floor (9719.5)     		tx = 9719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436065673828125 × 214)
    floor (0.436065673828125 × 16384)
    floor (7144.5)     		ty = 7144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9719 / 7144 ti = "14/9719/7144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9719/7144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9719 ÷ 214
    9719 ÷ 16384     		x = 0.59320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7144 ÷ 214
    7144 ÷ 16384     		y = 0.43603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    0.1279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.401902966414551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58559717} λ = 0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401902966414551))-π/2
    2×atan(1.49466629280985)-π/2
    2×0.981148534073795-π/2
    1.96229706814759-1.57079632675     		φ = 0.39150074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39150074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.431340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9719 KachelY 7144 0.58559717 0.39150074 33.552246 22.431340
    Oben rechts KachelX + 1 9720 KachelY 7144 0.58598066 0.39150074 33.574219 22.431340
    Unten links KachelX 9719 KachelY + 1 7145 0.58559717 0.39114624 33.552246 22.411029
    Unten rechts KachelX + 1 9720 KachelY + 1 7145 0.58598066 0.39114624 33.574219 22.411029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39150074-0.39114624) × R
    0.000354500000000035 × 6371000     		dl = 2258.51950000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39150074-0.39114624) × R
    0.000354500000000035 × 6371000     		dr = 2258.51950000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58559717-0.58598066) × cos(0.39150074) × R
    0.000383490000000042 × 0.924337454559975 × 6371000     		do = 2258.35493993213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58559717-0.58598066) × cos(0.39114624) × R
    0.000383490000000042 × 0.924472665180509 × 6371000     		du = 2258.68528851999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39150074)-sin(0.39114624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924337454559975-0.924472665180509)×R²
    abs(0.58598066-0.58559717)×0.000135210620534787×R²
    0.000383490000000042×0.000135210620534787×6371000²
    0.000383490000000042×0.000135210620534787×40589641000000     		ar = 5100911.77254167m²