Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97186 / 101769
↖ ↑ ↗
← S 70.029032°
E 86.929321°		 ← 104.32 m → S 70.029032°
E 86.932068°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.029970°
E 86.929321°		 ← 104.31 m →
10 879 m²		 S 70.029970°
E 86.932068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741474151611328 y=0.776439666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741474151611328 × 217)
    floor (0.741474151611328 × 131072)
    floor (97186.5)     		tx = 97186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776439666748047 × 217)
    floor (0.776439666748047 × 131072)
    floor (101769.5)     		ty = 101769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97186 / 101769 ti = "17/97186/101769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97186/101769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97186 ÷ 217
    97186 ÷ 131072     		x = 0.741470336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101769 ÷ 217
    101769 ÷ 131072     		y = 0.776435852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741470336914062 × 2 - 1) × π
    0.482940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51720287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776435852050781 × 2 - 1) × π
    -0.552871704101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.73689768393349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51720287} λ = 1.51720287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73689768393349))-π/2
    2×atan(0.176065765886149)-π/2
    2×0.174279575655994-π/2
    0.348559151311987-1.57079632675     		φ = -1.22223718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51720287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22223718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.029032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97186 KachelY 101769 1.51720287 -1.22223718 86.929321 -70.029032
    Oben rechts KachelX + 1 97187 KachelY 101769 1.51725081 -1.22223718 86.932068 -70.029032
    Unten links KachelX 97186 KachelY + 1 101770 1.51720287 -1.22225355 86.929321 -70.029970
    Unten rechts KachelX + 1 97187 KachelY + 1 101770 1.51725081 -1.22225355 86.932068 -70.029970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22223718--1.22225355) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22223718--1.22225355) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51720287-1.51725081) × cos(-1.22223718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341543953801882 × 6371000     		do = 104.316314832397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51720287-1.51725081) × cos(-1.22225355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341528568152925 × 6371000     		du = 104.311615659179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22223718)-sin(-1.22225355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341543953801882-0.341528568152925)×R²
    abs(1.51725081-1.51720287)×1.53856489571447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53856489571447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53856489571447e-05×40589641000000     		ar = 10879.2445423743m²