Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97183 / 101740
↖ ↑ ↗
← S 70.001810°
E 86.921081°		 ← 104.45 m → S 70.001810°
E 86.923828°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
S 70.002749°
E 86.921081°		 ← 104.45 m →
10 907 m²		 S 70.002749°
E 86.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741451263427734 y=0.776218414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741451263427734 × 217)
    floor (0.741451263427734 × 131072)
    floor (97183.5)     		tx = 97183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776218414306641 × 217)
    floor (0.776218414306641 × 131072)
    floor (101740.5)     		ty = 101740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97183 / 101740 ti = "17/97183/101740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97183/101740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97183 ÷ 217
    97183 ÷ 131072     		x = 0.741447448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101740 ÷ 217
    101740 ÷ 131072     		y = 0.776214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741447448730469 × 2 - 1) × π
    0.482894897460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.51705906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.55242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73550751384451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51705906} λ = 1.51705906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73550751384451))-π/2
    2×atan(0.176310697456404)-π/2
    2×0.174517132903526-π/2
    0.349034265807052-1.57079632675     		φ = -1.22176206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51705906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.921081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22176206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.001810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97183 KachelY 101740 1.51705906 -1.22176206 86.921081 -70.001810
    Oben rechts KachelX + 1 97184 KachelY 101740 1.51710700 -1.22176206 86.923828 -70.001810
    Unten links KachelX 97183 KachelY + 1 101741 1.51705906 -1.22177845 86.921081 -70.002749
    Unten rechts KachelX + 1 97184 KachelY + 1 101741 1.51710700 -1.22177845 86.923828 -70.002749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22176206--1.22177845) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dl = 104.420689999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22176206--1.22177845) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dr = 104.420689999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51705906-1.51710700) × cos(-1.22176206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341990464275499 × 6371000     		do = 104.452690624219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51705906-1.51710700) × cos(-1.22177845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34197506249047 × 6371000     		du = 104.447986522629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22176206)-sin(-1.22177845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341990464275499-0.34197506249047)×R²
    abs(1.51710700-1.51705906)×1.54017850295673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54017850295673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54017850295673e-05×40589641000000     		ar = 10906.7764247184m²