Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9718 / 7150
↖ ↑ ↗
← N 22.309426°
E 33.530273°		 ← 2 260.39 m → N 22.309426°
E 33.552246°		 →
↑
2 260.56 m
↓
↑
2 260.56 m
↓
N 22.289096°
E 33.530273°		 ← 2 260.72 m →
5 110 121 m²		 N 22.289096°
E 33.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593170166015625 y=0.436431884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593170166015625 × 214)
    floor (0.593170166015625 × 16384)
    floor (9718.5)     		tx = 9718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436431884765625 × 214)
    floor (0.436431884765625 × 16384)
    floor (7150.5)     		ty = 7150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9718 / 7150 ti = "14/9718/7150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9718/7150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9718 ÷ 214
    9718 ÷ 16384     		x = 0.5931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7150 ÷ 214
    7150 ÷ 16384     		y = 0.4364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4364013671875 × 2 - 1) × π
    0.127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.399601995232788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58521367} λ = 0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399601995232788))-π/2
    2×atan(1.49123106244242)-π/2
    2×0.980084630971389-π/2
    1.96016926194278-1.57079632675     		φ = 0.38937294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38937294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.309426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9718 KachelY 7150 0.58521367 0.38937294 33.530273 22.309426
    Oben rechts KachelX + 1 9719 KachelY 7150 0.58559717 0.38937294 33.552246 22.309426
    Unten links KachelX 9718 KachelY + 1 7151 0.58521367 0.38901812 33.530273 22.289096
    Unten rechts KachelX + 1 9719 KachelY + 1 7151 0.58559717 0.38901812 33.552246 22.289096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38937294-0.38901812) × R
    0.000354819999999978 × 6371000     		dl = 2260.55821999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38937294-0.38901812) × R
    0.000354819999999978 × 6371000     		dr = 2260.55821999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58521367-0.58559717) × cos(0.38937294) × R
    0.000383499999999981 × 0.925147278950199 × 6371000     		do = 2260.39245599241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58521367-0.58559717) × cos(0.38901812) × R
    0.000383499999999981 × 0.92528191335139 × 6371000     		du = 2260.7214053302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38937294)-sin(0.38901812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925147278950199-0.92528191335139)×R²
    abs(0.58559717-0.58521367)×0.000134634401191103×R²
    0.000383499999999981×0.000134634401191103×6371000²
    0.000383499999999981×0.000134634401191103×40589641000000     		ar = 5110120.60499607m²