Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97174 / 101751
↖ ↑ ↗
← S 70.012139°
E 86.896362°		 ← 104.40 m → S 70.012139°
E 86.899109°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
S 70.013079°
E 86.896362°		 ← 104.40 m →
10 901 m²		 S 70.013079°
E 86.899109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741382598876953 y=0.776302337646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741382598876953 × 217)
    floor (0.741382598876953 × 131072)
    floor (97174.5)     		tx = 97174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776302337646484 × 217)
    floor (0.776302337646484 × 131072)
    floor (101751.5)     		ty = 101751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97174 / 101751 ti = "17/97174/101751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97174/101751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97174 ÷ 217
    97174 ÷ 131072     		x = 0.741378784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101751 ÷ 217
    101751 ÷ 131072     		y = 0.776298522949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741378784179688 × 2 - 1) × π
    0.482757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51662763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776298522949219 × 2 - 1) × π
    -0.552597045898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.73603481974033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51662763} λ = 1.51662763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73603481974033))-π/2
    2×atan(0.176217752293558)-π/2
    2×0.174426988445833-π/2
    0.348853976891665-1.57079632675     		φ = -1.22194235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51662763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.896362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22194235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.012139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97174 KachelY 101751 1.51662763 -1.22194235 86.896362 -70.012139
    Oben rechts KachelX + 1 97175 KachelY 101751 1.51667557 -1.22194235 86.899109 -70.012139
    Unten links KachelX 97174 KachelY + 1 101752 1.51662763 -1.22195874 86.896362 -70.013079
    Unten rechts KachelX + 1 97175 KachelY + 1 101752 1.51667557 -1.22195874 86.899109 -70.013079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22194235--1.22195874) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22194235--1.22195874) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51662763-1.51667557) × cos(-1.22194235) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.341821039588254 × 6371000     		do = 104.400943964227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51662763-1.51667557) × cos(-1.22195874) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.341805636792932 × 6371000     		du = 104.396239554068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22194235)-sin(-1.22195874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341821039588254-0.341805636792932)×R²
    abs(1.51667557-1.51662763)×1.54027953224167e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54027953224167e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54027953224167e-05×40589641000000     		ar = 10901.3729867933m²