Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97172 / 101745
↖ ↑ ↗
← S 70.006506°
E 86.890869°		 ← 104.41 m → S 70.006506°
E 86.893616°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
S 70.007445°
E 86.890869°		 ← 104.40 m →
10 902 m²		 S 70.007445°
E 86.893616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741367340087891 y=0.776256561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741367340087891 × 217)
    floor (0.741367340087891 × 131072)
    floor (97172.5)     		tx = 97172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776256561279297 × 217)
    floor (0.776256561279297 × 131072)
    floor (101745.5)     		ty = 101745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97172 / 101745 ti = "17/97172/101745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97172/101745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97172 ÷ 217
    97172 ÷ 131072     		x = 0.741363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101745 ÷ 217
    101745 ÷ 131072     		y = 0.776252746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741363525390625 × 2 - 1) × π
    0.48272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51653176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776252746582031 × 2 - 1) × π
    -0.552505493164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73574719834261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51653176} λ = 1.51653176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73574719834261))-π/2
    2×atan(0.176268443579376)-π/2
    2×0.174476152612508-π/2
    0.348952305225015-1.57079632675     		φ = -1.22184402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51653176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.890869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22184402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.006506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97172 KachelY 101745 1.51653176 -1.22184402 86.890869 -70.006506
    Oben rechts KachelX + 1 97173 KachelY 101745 1.51657969 -1.22184402 86.893616 -70.006506
    Unten links KachelX 97172 KachelY + 1 101746 1.51653176 -1.22186041 86.890869 -70.007445
    Unten rechts KachelX + 1 97173 KachelY + 1 101746 1.51657969 -1.22186041 86.893616 -70.007445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22184402--1.22186041) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dl = 104.420689999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22184402--1.22186041) × R
    1.63899999998662e-05 × 6371000     		dr = 104.420689999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51653176-1.51657969) × cos(-1.22184402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341913445034423 × 6371000     		do = 104.407383660069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51653176-1.51657969) × cos(-1.22186041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341898042790051 × 6371000     		du = 104.402680399461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22184402)-sin(-1.22186041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341913445034423-0.341898042790051)×R²
    abs(1.51657969-1.51653176)×1.54022443715762e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54022443715762e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54022443715762e-05×40589641000000     		ar = 10902.0454841901m²