Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9717 / 7372
↖ ↑ ↗
← N 17.727759°
E 33.508301°		 ← 2 327.20 m → N 17.727759°
E 33.530273°		 →
↑
2 327.39 m
↓
↑
2 327.39 m
↓
N 17.706828°
E 33.508301°		 ← 2 327.47 m →
5 416 610 m²		 N 17.706828°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593109130859375 y=0.449981689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593109130859375 × 214)
    floor (0.593109130859375 × 16384)
    floor (9717.5)     		tx = 9717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449981689453125 × 214)
    floor (0.449981689453125 × 16384)
    floor (7372.5)     		ty = 7372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9717 / 7372 ti = "14/9717/7372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9717/7372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9717 ÷ 214
    9717 ÷ 16384     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7372 ÷ 214
    7372 ÷ 16384     		y = 0.449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    0.10009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314466061507568))-π/2
    2×atan(1.36952787205533)-π/2
    2×0.940102041763515-π/2
    1.88020408352703-1.57079632675     		φ = 0.30940776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30940776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.727759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9717 KachelY 7372 0.58483018 0.30940776 33.508301 17.727759
    Oben rechts KachelX + 1 9718 KachelY 7372 0.58521367 0.30940776 33.530273 17.727759
    Unten links KachelX 9717 KachelY + 1 7373 0.58483018 0.30904245 33.508301 17.706828
    Unten rechts KachelX + 1 9718 KachelY + 1 7373 0.58521367 0.30904245 33.530273 17.706828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30940776-0.30904245) × R
    0.000365309999999952 × 6371000     		dl = 2327.39000999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30940776-0.30904245) × R
    0.000365309999999952 × 6371000     		dr = 2327.39000999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.30940776) × R
    0.000383490000000042 × 0.952514070787353 × 6371000     		do = 2327.19646543102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.30904245) × R
    0.000383490000000042 × 0.952625242140155 × 6371000     		du = 2327.46808092441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30940776)-sin(0.30904245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952514070787353-0.952625242140155)×R²
    abs(0.58521367-0.58483018)×0.000111171352802364×R²
    0.000383490000000042×0.000111171352802364×6371000²
    0.000383490000000042×0.000111171352802364×40589641000000     		ar = 5416609.94278141m²