Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9717 / 7274
↖ ↑ ↗
← N 19.766704°
E 33.508301°		 ← 2 299.25 m → N 19.766704°
E 33.530273°		 →
↑
2 299.42 m
↓
↑
2 299.42 m
↓
N 19.746024°
E 33.508301°		 ← 2 299.55 m →
5 287 297 m²		 N 19.746024°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593109130859375 y=0.444000244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593109130859375 × 214)
    floor (0.593109130859375 × 16384)
    floor (9717.5)     		tx = 9717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444000244140625 × 214)
    floor (0.444000244140625 × 16384)
    floor (7274.5)     		ty = 7274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9717 / 7274 ti = "14/9717/7274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9717/7274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9717 ÷ 214
    9717 ÷ 16384     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7274 ÷ 214
    7274 ÷ 16384     		y = 0.4439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    0.112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352048590809692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352048590809692))-π/2
    2×atan(1.42197761708369)-π/2
    2×0.957895193014273-π/2
    1.91579038602855-1.57079632675     		φ = 0.34499406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34499406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.766704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9717 KachelY 7274 0.58483018 0.34499406 33.508301 19.766704
    Oben rechts KachelX + 1 9718 KachelY 7274 0.58521367 0.34499406 33.530273 19.766704
    Unten links KachelX 9717 KachelY + 1 7275 0.58483018 0.34463314 33.508301 19.746024
    Unten rechts KachelX + 1 9718 KachelY + 1 7275 0.58521367 0.34463314 33.530273 19.746024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34499406-0.34463314) × R
    0.000360919999999987 × 6371000     		dl = 2299.42131999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34499406-0.34463314) × R
    0.000360919999999987 × 6371000     		dr = 2299.42131999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.34499406) × R
    0.000383490000000042 × 0.941077461478174 × 6371000     		do = 2299.25437241938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.34463314) × R
    0.000383490000000042 × 0.941199460108833 × 6371000     		du = 2299.55244127817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34499406)-sin(0.34463314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941077461478174-0.941199460108833)×R²
    abs(0.58521367-0.58483018)×0.000121998630659648×R²
    0.000383490000000042×0.000121998630659648×6371000²
    0.000383490000000042×0.000121998630659648×40589641000000     		ar = 5287297.27438291m²