Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9717 / 7157
↖ ↑ ↗
← N 22.167058°
E 33.508301°		 ← 2 262.63 m → N 22.167058°
E 33.530273°		 →
↑
2 262.85 m
↓
↑
2 262.85 m
↓
N 22.146708°
E 33.508301°		 ← 2 262.96 m →
5 120 369 m²		 N 22.146708°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593109130859375 y=0.436859130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593109130859375 × 214)
    floor (0.593109130859375 × 16384)
    floor (9717.5)     		tx = 9717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436859130859375 × 214)
    floor (0.436859130859375 × 16384)
    floor (7157.5)     		ty = 7157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9717 / 7157 ti = "14/9717/7157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9717/7157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9717 ÷ 214
    9717 ÷ 16384     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7157 ÷ 214
    7157 ÷ 16384     		y = 0.43682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43682861328125 × 2 - 1) × π
    0.1263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.396917528854065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396917528854065))-π/2
    2×atan(1.48723327116132)-π/2
    2×0.978842235942292-π/2
    1.95768447188458-1.57079632675     		φ = 0.38688815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38688815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.167058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9717 KachelY 7157 0.58483018 0.38688815 33.508301 22.167058
    Oben rechts KachelX + 1 9718 KachelY 7157 0.58521367 0.38688815 33.530273 22.167058
    Unten links KachelX 9717 KachelY + 1 7158 0.58483018 0.38653297 33.508301 22.146708
    Unten rechts KachelX + 1 9718 KachelY + 1 7158 0.58521367 0.38653297 33.530273 22.146708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38688815-0.38653297) × R
    0.00035518000000001 × 6371000     		dl = 2262.85178000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38688815-0.38653297) × R
    0.00035518000000001 × 6371000     		dr = 2262.85178000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.38688815) × R
    0.000383490000000042 × 0.926087669041593 × 6371000     		do = 2262.63108983929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.38653297) × R
    0.000383490000000042 × 0.926221623022251 × 6371000     		du = 2262.95836818601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38688815)-sin(0.38653297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926087669041593-0.926221623022251)×R²
    abs(0.58521367-0.58483018)×0.000133953980657187×R²
    0.000383490000000042×0.000133953980657187×6371000²
    0.000383490000000042×0.000133953980657187×40589641000000     		ar = 5120369.13415064m²