Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9717 / 7154
↖ ↑ ↗
← N 22.228090°
E 33.508301°		 ← 2 261.65 m → N 22.228090°
E 33.530273°		 →
↑
2 261.83 m
↓
↑
2 261.83 m
↓
N 22.207749°
E 33.508301°		 ← 2 261.98 m →
5 115 839 m²		 N 22.207749°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593109130859375 y=0.436676025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593109130859375 × 214)
    floor (0.593109130859375 × 16384)
    floor (9717.5)     		tx = 9717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436676025390625 × 214)
    floor (0.436676025390625 × 16384)
    floor (7154.5)     		ty = 7154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9717 / 7154 ti = "14/9717/7154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9717/7154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9717 ÷ 214
    9717 ÷ 16384     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7154 ÷ 214
    7154 ÷ 16384     		y = 0.4366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    0.126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.398068014444946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398068014444946))-π/2
    2×atan(1.48894529625133)-π/2
    2×0.979374845494126-π/2
    1.95874969098825-1.57079632675     		φ = 0.38795336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38795336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.228090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9717 KachelY 7154 0.58483018 0.38795336 33.508301 22.228090
    Oben rechts KachelX + 1 9718 KachelY 7154 0.58521367 0.38795336 33.530273 22.228090
    Unten links KachelX 9717 KachelY + 1 7155 0.58483018 0.38759834 33.508301 22.207749
    Unten rechts KachelX + 1 9718 KachelY + 1 7155 0.58521367 0.38759834 33.530273 22.207749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38795336-0.38759834) × R
    0.000355020000000039 × 6371000     		dl = 2261.83242000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38795336-0.38759834) × R
    0.000355020000000039 × 6371000     		dr = 2261.83242000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.38795336) × R
    0.000383490000000042 × 0.925685231033092 × 6371000     		do = 2261.64784734486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(0.38759834) × R
    0.000383490000000042 × 0.925819474865683 × 6371000     		du = 2261.97583386212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38795336)-sin(0.38759834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925685231033092-0.925819474865683)×R²
    abs(0.58521367-0.58483018)×0.000134243832590419×R²
    0.000383490000000042×0.000134243832590419×6371000²
    0.000383490000000042×0.000134243832590419×40589641000000     		ar = 5115839.40274992m²