Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9717 / 10440
↖ ↑ ↗
← S 44.213710°
E 33.508301°		 ← 1 751.16 m → S 44.213710°
E 33.530273°		 →
↑
1 750.94 m
↓
↑
1 750.94 m
↓
S 44.229456°
E 33.508301°		 ← 1 750.69 m →
3 065 768 m²		 S 44.229456°
E 33.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593109130859375 y=0.637237548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593109130859375 × 214)
    floor (0.593109130859375 × 16384)
    floor (9717.5)     		tx = 9717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637237548828125 × 214)
    floor (0.637237548828125 × 16384)
    floor (10440.5)     		ty = 10440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9717 / 10440 ti = "14/9717/10440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9717/10440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9717 ÷ 214
    9717 ÷ 16384     		x = 0.59307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10440 ÷ 214
    10440 ÷ 16384     		y = 0.63720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    0.1861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58483018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58483018} λ = 0.58483018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86209720276709))-π/2
    2×atan(0.422275555565894)-π/2
    2×0.399560757183306-π/2
    0.799121514366612-1.57079632675     		φ = -0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58483018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9717 KachelY 10440 0.58483018 -0.77167481 33.508301 -44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 9718 KachelY 10440 0.58521367 -0.77167481 33.530273 -44.213710
    Unten links KachelX 9717 KachelY + 1 10441 0.58483018 -0.77194964 33.508301 -44.229456
    Unten rechts KachelX + 1 9718 KachelY + 1 10441 0.58521367 -0.77194964 33.530273 -44.229456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77167481--0.77194964) × R
    0.000274829999999948 × 6371000     		dl = 1750.94192999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77167481--0.77194964) × R
    0.000274829999999948 × 6371000     		dr = 1750.94192999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(-0.77167481) × R
    0.000383490000000042 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 1751.15897713861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58483018-0.58521367) × cos(-0.77194964) × R
    0.000383490000000042 × 0.71655209294082 × 6371000     		du = 1750.69067127866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77167481)-sin(-0.77194964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.71655209294082)×R²
    abs(0.58521367-0.58483018)×0.000191676090807058×R²
    0.000383490000000042×0.000191676090807058×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191676090807058×40589641000000     		ar = 3065767.71028072m²