Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9716 / 15869
↖ ↑ ↗
← N 67.615497°
W126.628418°		 ← 232.60 m → N 67.615497°
W126.622925°		 →
↑
232.61 m
↓
↑
232.61 m
↓
N 67.613405°
W126.628418°		 ← 232.62 m →
54 106 m²		 N 67.613405°
W126.622925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148262023925781 y=0.242149353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148262023925781 × 216)
    floor (0.148262023925781 × 65536)
    floor (9716.5)     		tx = 9716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242149353027344 × 216)
    floor (0.242149353027344 × 65536)
    floor (15869.5)     		ty = 15869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9716 / 15869 ti = "16/9716/15869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9716/15869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9716 ÷ 216
    9716 ÷ 65536     		x = 0.14825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15869 ÷ 216
    15869 ÷ 65536     		y = 0.242141723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.7034912109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.21008282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242141723632812 × 2 - 1) × π
    0.515716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62017133335866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21008282} λ = -2.21008282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62017133335866))-π/2
    2×atan(5.05395615367068)-π/2
    2×1.37545468883623-π/2
    2.75090937767247-1.57079632675     		φ = 1.18011305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21008282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.628418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18011305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.615497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9716 KachelY 15869 -2.21008282 1.18011305 -126.628418 67.615497
    Oben rechts KachelX + 1 9717 KachelY 15869 -2.20998695 1.18011305 -126.622925 67.615497
    Unten links KachelX 9716 KachelY + 1 15870 -2.21008282 1.18007654 -126.628418 67.613405
    Unten rechts KachelX + 1 9717 KachelY + 1 15870 -2.20998695 1.18007654 -126.622925 67.613405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18011305-1.18007654) × R
    3.65100000001561e-05 × 6371000     		dl = 232.605210000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18011305-1.18007654) × R
    3.65100000001561e-05 × 6371000     		dr = 232.605210000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21008282--2.20998695) × cos(1.18011305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380820295223234 × 6371000     		do = 232.600378890136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21008282--2.20998695) × cos(1.18007654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380854053906962 × 6371000     		du = 232.620998281288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18011305)-sin(1.18007654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380820295223234-0.380854053906962)×R²
    abs(-2.20998695--2.21008282)×3.37586837272918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37586837272918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37586837272918e-05×40589641000000     		ar = 54106.4580728829m²