Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9714 / 7377
↖ ↑ ↗
← N 17.623082°
E 33.442383°		 ← 2 328.55 m → N 17.623082°
E 33.464355°		 →
↑
2 328.73 m
↓
↑
2 328.73 m
↓
N 17.602139°
E 33.442383°		 ← 2 328.82 m →
5 422 878 m²		 N 17.602139°
E 33.464355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592926025390625 y=0.450286865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592926025390625 × 214)
    floor (0.592926025390625 × 16384)
    floor (9714.5)     		tx = 9714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450286865234375 × 214)
    floor (0.450286865234375 × 16384)
    floor (7377.5)     		ty = 7377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9714 / 7377 ti = "14/9714/7377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9714/7377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9714 ÷ 214
    9714 ÷ 16384     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7377 ÷ 214
    7377 ÷ 16384     		y = 0.45025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45025634765625 × 2 - 1) × π
    0.0994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.312548585522766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312548585522766))-π/2
    2×atan(1.36690435132298)-π/2
    2×0.939188564196516-π/2
    1.87837712839303-1.57079632675     		φ = 0.30758080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30758080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.623082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9714 KachelY 7377 0.58367969 0.30758080 33.442383 17.623082
    Oben rechts KachelX + 1 9715 KachelY 7377 0.58406318 0.30758080 33.464355 17.623082
    Unten links KachelX 9714 KachelY + 1 7378 0.58367969 0.30721528 33.442383 17.602139
    Unten rechts KachelX + 1 9715 KachelY + 1 7378 0.58406318 0.30721528 33.464355 17.602139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30758080-0.30721528) × R
    0.000365520000000008 × 6371000     		dl = 2328.72792000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30758080-0.30721528) × R
    0.000365520000000008 × 6371000     		dr = 2328.72792000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58406318) × cos(0.30758080) × R
    0.000383490000000042 × 0.953068780240751 × 6371000     		do = 2328.55173977172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58406318) × cos(0.30721528) × R
    0.000383490000000042 × 0.953179379162112 × 6371000     		du = 2328.82195669215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30758080)-sin(0.30721528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953068780240751-0.953179379162112)×R²
    abs(0.58406318-0.58367969)×0.000110598921361005×R²
    0.000383490000000042×0.000110598921361005×6371000²
    0.000383490000000042×0.000110598921361005×40589641000000     		ar = 5422878.14079151m²