Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9714 / 7143
↖ ↑ ↗
← N 22.451649°
E 33.442383°		 ← 2 258.02 m → N 22.451649°
E 33.464355°		 →
↑
2 258.20 m
↓
↑
2 258.20 m
↓
N 22.431340°
E 33.442383°		 ← 2 258.35 m →
5 099 446 m²		 N 22.431340°
E 33.464355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592926025390625 y=0.436004638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592926025390625 × 214)
    floor (0.592926025390625 × 16384)
    floor (9714.5)     		tx = 9714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436004638671875 × 214)
    floor (0.436004638671875 × 16384)
    floor (7143.5)     		ty = 7143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9714 / 7143 ti = "14/9714/7143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9714/7143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9714 ÷ 214
    9714 ÷ 16384     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7143 ÷ 214
    7143 ÷ 16384     		y = 0.43597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43597412109375 × 2 - 1) × π
    0.1280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.402286461611511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402286461611511))-π/2
    2×atan(1.49523960007746)-π/2
    2×0.98132576058976-π/2
    1.96265152117952-1.57079632675     		φ = 0.39185519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39185519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.451649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9714 KachelY 7143 0.58367969 0.39185519 33.442383 22.451649
    Oben rechts KachelX + 1 9715 KachelY 7143 0.58406318 0.39185519 33.464355 22.451649
    Unten links KachelX 9714 KachelY + 1 7144 0.58367969 0.39150074 33.442383 22.431340
    Unten rechts KachelX + 1 9715 KachelY + 1 7144 0.58406318 0.39150074 33.464355 22.431340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39185519-0.39150074) × R
    0.000354450000000006 × 6371000     		dl = 2258.20095000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39185519-0.39150074) × R
    0.000354450000000006 × 6371000     		dr = 2258.20095000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58406318) × cos(0.39185519) × R
    0.000383490000000042 × 0.924202146872905 × 6371000     		do = 2258.02435418988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58406318) × cos(0.39150074) × R
    0.000383490000000042 × 0.924337454559975 × 6371000     		du = 2258.35493993213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39185519)-sin(0.39150074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924202146872905-0.924337454559975)×R²
    abs(0.58406318-0.58367969)×0.000135307687069375×R²
    0.000383490000000042×0.000135307687069375×6371000²
    0.000383490000000042×0.000135307687069375×40589641000000     		ar = 5099446.05966202m²