Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9714 / 10559
↖ ↑ ↗
← S 46.057985°
E 33.442383°		 ← 1 695.42 m → S 46.057985°
E 33.464355°		 →
↑
1 695.20 m
↓
↑
1 695.20 m
↓
S 46.073231°
E 33.442383°		 ← 1 694.95 m →
2 873 672 m²		 S 46.073231°
E 33.464355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592926025390625 y=0.644500732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592926025390625 × 214)
    floor (0.592926025390625 × 16384)
    floor (9714.5)     		tx = 9714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644500732421875 × 214)
    floor (0.644500732421875 × 16384)
    floor (10559.5)     		ty = 10559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9714 / 10559 ti = "14/9714/10559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9714/10559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9714 ÷ 214
    9714 ÷ 16384     		x = 0.5928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10559 ÷ 214
    10559 ÷ 16384     		y = 0.64447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5928955078125 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58367969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.2889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.907733131205383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58367969} λ = 0.58367969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907733131205383))-π/2
    2×atan(0.403437728642536)-π/2
    2×0.383466418728148-π/2
    0.766932837456296-1.57079632675     		φ = -0.80386349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58367969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.442383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80386349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.057985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9714 KachelY 10559 0.58367969 -0.80386349 33.442383 -46.057985
    Oben rechts KachelX + 1 9715 KachelY 10559 0.58406318 -0.80386349 33.464355 -46.057985
    Unten links KachelX 9714 KachelY + 1 10560 0.58367969 -0.80412957 33.442383 -46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 9715 KachelY + 1 10560 0.58406318 -0.80412957 33.464355 -46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80386349--0.80412957) × R
    0.000266079999999946 × 6371000     		dl = 1695.19567999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80386349--0.80412957) × R
    0.000266079999999946 × 6371000     		dr = 1695.19567999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58367969-0.58406318) × cos(-0.80386349) × R
    0.000383490000000042 × 0.693930018449317 × 6371000     		do = 1695.42008430053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58367969-0.58406318) × cos(-0.80412957) × R
    0.000383490000000042 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 1694.95193146744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80386349)-sin(-0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693930018449317-0.693738404991914)×R²
    abs(0.58406318-0.58367969)×0.000191613457403705×R²
    0.000383490000000042×0.000191613457403705×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191613457403705×40589641000000     		ar = 2873672.01431429m²