Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97139 / 101679
↖ ↑ ↗
← S 69.944433°
E 86.800232°		 ← 104.74 m → S 69.944433°
E 86.802979°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
S 69.945375°
E 86.800232°		 ← 104.74 m →
10 970 m²		 S 69.945375°
E 86.802979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741115570068359 y=0.775753021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741115570068359 × 217)
    floor (0.741115570068359 × 131072)
    floor (97139.5)     		tx = 97139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775753021240234 × 217)
    floor (0.775753021240234 × 131072)
    floor (101679.5)     		ty = 101679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97139 / 101679 ti = "17/97139/101679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97139/101679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97139 ÷ 217
    97139 ÷ 131072     		x = 0.741111755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101679 ÷ 217
    101679 ÷ 131072     		y = 0.775749206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741111755371094 × 2 - 1) × π
    0.482223510742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.51494984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775749206542969 × 2 - 1) × π
    -0.551498413085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.73258336296769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51494984} λ = 1.51494984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73258336296769))-π/2
    2×atan(0.176827011058499)-π/2
    2×0.17501783628663-π/2
    0.350035672573261-1.57079632675     		φ = -1.22076065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51494984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.800232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22076065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.944433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97139 KachelY 101679 1.51494984 -1.22076065 86.800232 -69.944433
    Oben rechts KachelX + 1 97140 KachelY 101679 1.51499778 -1.22076065 86.802979 -69.944433
    Unten links KachelX 97139 KachelY + 1 101680 1.51494984 -1.22077709 86.800232 -69.945375
    Unten rechts KachelX + 1 97140 KachelY + 1 101680 1.51499778 -1.22077709 86.802979 -69.945375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22076065--1.22077709) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22076065--1.22077709) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51494984-1.51499778) × cos(-1.22076065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342931321044826 × 6371000     		do = 104.740052499225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51494984-1.51499778) × cos(-1.22077709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342915877912213 × 6371000     		du = 104.735335769019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22076065)-sin(-1.22077709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342931321044826-0.342915877912213)×R²
    abs(1.51499778-1.51494984)×1.54431326127025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54431326127025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54431326127025e-05×40589641000000     		ar = 10970.1464831883m²