Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97129 / 101991
↖ ↑ ↗
← S 70.236247°
E 86.772766°		 ← 103.28 m → S 70.236247°
E 86.775513°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
S 70.237176°
E 86.772766°		 ← 103.27 m →
10 666 m²		 S 70.237176°
E 86.775513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741039276123047 y=0.778133392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741039276123047 × 217)
    floor (0.741039276123047 × 131072)
    floor (97129.5)     		tx = 97129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778133392333984 × 217)
    floor (0.778133392333984 × 131072)
    floor (101991.5)     		ty = 101991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97129 / 101991 ti = "17/97129/101991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97129/101991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97129 ÷ 217
    97129 ÷ 131072     		x = 0.741035461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101991 ÷ 217
    101991 ÷ 131072     		y = 0.778129577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741035461425781 × 2 - 1) × π
    0.482070922851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.51447047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778129577636719 × 2 - 1) × π
    -0.556259155273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74753967564915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51447047} λ = 1.51447047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74753967564915))-π/2
    2×atan(0.174202010090518)-π/2
    2×0.172471284023149-π/2
    0.344942568046298-1.57079632675     		φ = -1.22585376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51447047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.772766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22585376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.236247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97129 KachelY 101991 1.51447047 -1.22585376 86.772766 -70.236247
    Oben rechts KachelX + 1 97130 KachelY 101991 1.51451841 -1.22585376 86.775513 -70.236247
    Unten links KachelX 97129 KachelY + 1 101992 1.51447047 -1.22586997 86.772766 -70.237176
    Unten rechts KachelX + 1 97130 KachelY + 1 101992 1.51451841 -1.22586997 86.775513 -70.237176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22585376--1.22586997) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22585376--1.22586997) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51447047-1.51451841) × cos(-1.22585376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338142627710551 × 6371000     		do = 103.277462293972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51447047-1.51451841) × cos(-1.22586997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338127372518205 × 6371000     		du = 103.272802965561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22585376)-sin(-1.22586997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338142627710551-0.338127372518205)×R²
    abs(1.51451841-1.51447047)×1.52551923453537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52551923453537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52551923453537e-05×40589641000000     		ar = 10665.6267526757m²