Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97126 / 101993
↖ ↑ ↗
← S 70.238104°
E 86.764526°		 ← 103.27 m → S 70.238104°
E 86.767273°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.239032°
E 86.764526°		 ← 103.26 m →
10 658 m²		 S 70.239032°
E 86.767273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741016387939453 y=0.778148651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741016387939453 × 217)
    floor (0.741016387939453 × 131072)
    floor (97126.5)     		tx = 97126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778148651123047 × 217)
    floor (0.778148651123047 × 131072)
    floor (101993.5)     		ty = 101993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97126 / 101993 ti = "17/97126/101993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97126/101993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97126 ÷ 217
    97126 ÷ 131072     		x = 0.741012573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101993 ÷ 217
    101993 ÷ 131072     		y = 0.778144836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741012573242188 × 2 - 1) × π
    0.482025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51432666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778144836425781 × 2 - 1) × π
    -0.556289672851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.74763554944839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51432666} λ = 1.51432666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74763554944839))-π/2
    2×atan(0.174185309482564)-π/2
    2×0.172455075245134-π/2
    0.344910150490268-1.57079632675     		φ = -1.22588618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51432666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.764526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22588618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.238104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97126 KachelY 101993 1.51432666 -1.22588618 86.764526 -70.238104
    Oben rechts KachelX + 1 97127 KachelY 101993 1.51437460 -1.22588618 86.767273 -70.238104
    Unten links KachelX 97126 KachelY + 1 101994 1.51432666 -1.22590238 86.764526 -70.239032
    Unten rechts KachelX + 1 97127 KachelY + 1 101994 1.51437460 -1.22590238 86.767273 -70.239032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22588618--1.22590238) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dl = 103.210199999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22588618--1.22590238) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dr = 103.210199999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51432666-1.51437460) × cos(-1.22588618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338112117237012 × 6371000     		do = 103.268143610013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51432666-1.51437460) × cos(-1.22590238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338096871278089 × 6371000     		du = 103.263487101727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22588618)-sin(-1.22590238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338112117237012-0.338096871278089)×R²
    abs(1.51437460-1.51432666)×1.52459589234932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52459589234932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52459589234932e-05×40589641000000     		ar = 10658.0854562673m²