Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9712 / 7382
↖ ↑ ↗
← N 17.518344°
E 33.398438°		 ← 2 329.90 m → N 17.518344°
E 33.420410°		 →
↑
2 330.07 m
↓
↑
2 330.07 m
↓
N 17.497390°
E 33.398438°		 ← 2 330.17 m →
5 429 134 m²		 N 17.497390°
E 33.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592803955078125 y=0.450592041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592803955078125 × 214)
    floor (0.592803955078125 × 16384)
    floor (9712.5)     		tx = 9712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450592041015625 × 214)
    floor (0.450592041015625 × 16384)
    floor (7382.5)     		ty = 7382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9712 / 7382 ti = "14/9712/7382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9712/7382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9712 ÷ 214
    9712 ÷ 16384     		x = 0.5927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7382 ÷ 214
    7382 ÷ 16384     		y = 0.4505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    0.098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58291270} λ = 0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310631109537964))-π/2
    2×atan(1.36428585630874)-π/2
    2×0.938274556181032-π/2
    1.87654911236206-1.57079632675     		φ = 0.30575279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30575279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.518344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9712 KachelY 7382 0.58291270 0.30575279 33.398438 17.518344
    Oben rechts KachelX + 1 9713 KachelY 7382 0.58329619 0.30575279 33.420410 17.518344
    Unten links KachelX 9712 KachelY + 1 7383 0.58291270 0.30538706 33.398438 17.497390
    Unten rechts KachelX + 1 9713 KachelY + 1 7383 0.58329619 0.30538706 33.420410 17.497390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30575279-0.30538706) × R
    0.000365730000000009 × 6371000     		dl = 2330.06583000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30575279-0.30538706) × R
    0.000365730000000009 × 6371000     		dr = 2330.06583000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58291270-0.58329619) × cos(0.30575279) × R
    0.000383490000000042 × 0.953620624620632 × 6371000     		do = 2329.90001412242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58291270-0.58329619) × cos(0.30538706) × R
    0.000383490000000042 × 0.953730649643732 × 6371000     		du = 2330.16882888613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30575279)-sin(0.30538706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953620624620632-0.953730649643732)×R²
    abs(0.58329619-0.58291270)×0.000110025023099203×R²
    0.000383490000000042×0.000110025023099203×6371000²
    0.000383490000000042×0.000110025023099203×40589641000000     		ar = 5429133.64878707m²