Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97110 / 101530
↖ ↑ ↗
← S 69.803620°
E 86.720581°		 ← 105.44 m → S 69.803620°
E 86.723328°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 69.804568°
E 86.720581°		 ← 105.44 m →
11 118 m²		 S 69.804568°
E 86.723328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740894317626953 y=0.774616241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740894317626953 × 217)
    floor (0.740894317626953 × 131072)
    floor (97110.5)     		tx = 97110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774616241455078 × 217)
    floor (0.774616241455078 × 131072)
    floor (101530.5)     		ty = 101530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97110 / 101530 ti = "17/97110/101530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97110/101530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97110 ÷ 217
    97110 ÷ 131072     		x = 0.740890502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101530 ÷ 217
    101530 ÷ 131072     		y = 0.774612426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740890502929688 × 2 - 1) × π
    0.481781005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51355967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774612426757812 × 2 - 1) × π
    -0.549224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7254407649243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51355967} λ = 1.51355967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7254407649243))-π/2
    2×atan(0.178094536645849)-π/2
    2×0.176246663114186-π/2
    0.352493326228372-1.57079632675     		φ = -1.21830300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51355967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.720581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21830300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.803620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97110 KachelY 101530 1.51355967 -1.21830300 86.720581 -69.803620
    Oben rechts KachelX + 1 97111 KachelY 101530 1.51360761 -1.21830300 86.723328 -69.803620
    Unten links KachelX 97110 KachelY + 1 101531 1.51355967 -1.21831955 86.720581 -69.804568
    Unten rechts KachelX + 1 97111 KachelY + 1 101531 1.51360761 -1.21831955 86.723328 -69.804568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21830300--1.21831955) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21830300--1.21831955) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51355967-1.51360761) × cos(-1.21830300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345238902341881 × 6371000     		do = 105.444847224488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51355967-1.51360761) × cos(-1.21831955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345223369874039 × 6371000     		du = 105.440103209003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21830300)-sin(-1.21831955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345238902341881-0.345223369874039)×R²
    abs(1.51360761-1.51355967)×1.55324678417501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55324678417501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55324678417501e-05×40589641000000     		ar = 11117.8598591144m²