Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97107 / 101681
↖ ↑ ↗
← S 69.946317°
E 86.712341°		 ← 104.71 m → S 69.946317°
E 86.715088°		 →
↑
104.74 m
↓
↑
104.74 m
↓
S 69.947259°
E 86.712341°		 ← 104.70 m →
10 967 m²		 S 69.947259°
E 86.715088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740871429443359 y=0.775768280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740871429443359 × 217)
    floor (0.740871429443359 × 131072)
    floor (97107.5)     		tx = 97107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775768280029297 × 217)
    floor (0.775768280029297 × 131072)
    floor (101681.5)     		ty = 101681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97107 / 101681 ti = "17/97107/101681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97107/101681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97107 ÷ 217
    97107 ÷ 131072     		x = 0.740867614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101681 ÷ 217
    101681 ÷ 131072     		y = 0.775764465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740867614746094 × 2 - 1) × π
    0.481735229492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.51341586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775764465332031 × 2 - 1) × π
    -0.551528930664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73267923676693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51341586} λ = 1.51341586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73267923676693))-π/2
    2×atan(0.176810058793792)-π/2
    2×0.175001397962739-π/2
    0.350002795925479-1.57079632675     		φ = -1.22079353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51341586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.712341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22079353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.946317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97107 KachelY 101681 1.51341586 -1.22079353 86.712341 -69.946317
    Oben rechts KachelX + 1 97108 KachelY 101681 1.51346379 -1.22079353 86.715088 -69.946317
    Unten links KachelX 97107 KachelY + 1 101682 1.51341586 -1.22080997 86.712341 -69.947259
    Unten rechts KachelX + 1 97108 KachelY + 1 101682 1.51346379 -1.22080997 86.715088 -69.947259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22079353--1.22080997) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dl = 104.739240000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22079353--1.22080997) × R
    1.64400000000064e-05 × 6371000     		dr = 104.739240000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51341586-1.51346379) × cos(-1.22079353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34290043468692 × 6371000     		do = 104.708772823944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51341586-1.51346379) × cos(-1.22080997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342884991368949 × 6371000     		du = 104.704057021019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22079353)-sin(-1.22080997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34290043468692-0.342884991368949)×R²
    abs(1.51346379-1.51341586)×1.54433179707092e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54433179707092e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54433179707092e-05×40589641000000     		ar = 10966.8703222938m²