Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97101 / 101710
↖ ↑ ↗
← S 69.973611°
E 86.695862°		 ← 104.57 m → S 69.973611°
E 86.698608°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.974552°
E 86.695862°		 ← 104.57 m →
10 939 m²		 S 69.974552°
E 86.698608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740825653076172 y=0.775989532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740825653076172 × 217)
    floor (0.740825653076172 × 131072)
    floor (97101.5)     		tx = 97101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775989532470703 × 217)
    floor (0.775989532470703 × 131072)
    floor (101710.5)     		ty = 101710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97101 / 101710 ti = "17/97101/101710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97101/101710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97101 ÷ 217
    97101 ÷ 131072     		x = 0.740821838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101710 ÷ 217
    101710 ÷ 131072     		y = 0.775985717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740821838378906 × 2 - 1) × π
    0.481643676757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.51312824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775985717773438 × 2 - 1) × π
    -0.551971435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73406940685591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51312824} λ = 1.51312824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73406940685591))-π/2
    2×atan(0.176564433508645)-π/2
    2×0.174763208566434-π/2
    0.349526417132869-1.57079632675     		φ = -1.22126991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51312824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.695862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22126991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.973611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97101 KachelY 101710 1.51312824 -1.22126991 86.695862 -69.973611
    Oben rechts KachelX + 1 97102 KachelY 101710 1.51317617 -1.22126991 86.698608 -69.973611
    Unten links KachelX 97101 KachelY + 1 101711 1.51312824 -1.22128633 86.695862 -69.974552
    Unten rechts KachelX + 1 97102 KachelY + 1 101711 1.51317617 -1.22128633 86.698608 -69.974552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22126991--1.22128633) × R
    1.6420000000128e-05 × 6371000     		dl = 104.611820000815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22126991--1.22128633) × R
    1.6420000000128e-05 × 6371000     		dr = 104.611820000815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51312824-1.51317617) × cos(-1.22126991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342452897879204 × 6371000     		do = 104.57211207584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51312824-1.51317617) × cos(-1.22128633) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34243747066837 × 6371000     		du = 104.567401191423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22126991)-sin(-1.22128633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342452897879204-0.34243747066837)×R²
    abs(1.51317617-1.51312824)×1.54272108343623e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54272108343623e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54272108343623e-05×40589641000000     		ar = 10939.2325586407m²