Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9710 / 7286
↖ ↑ ↗
← N 19.518376°
E 33.354492°		 ← 2 302.81 m → N 19.518376°
E 33.376465°		 →
↑
2 302.99 m
↓
↑
2 302.99 m
↓
N 19.497664°
E 33.354492°		 ← 2 303.11 m →
5 303 695 m²		 N 19.497664°
E 33.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592681884765625 y=0.444732666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592681884765625 × 214)
    floor (0.592681884765625 × 16384)
    floor (9710.5)     		tx = 9710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444732666015625 × 214)
    floor (0.444732666015625 × 16384)
    floor (7286.5)     		ty = 7286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9710 / 7286 ti = "14/9710/7286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9710/7286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9710 ÷ 214
    9710 ÷ 16384     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7286 ÷ 214
    7286 ÷ 16384     		y = 0.4447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    0.110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.347446648446167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347446648446167))-π/2
    2×atan(1.41544879220775)-π/2
    2×0.955728121763829-π/2
    1.91145624352766-1.57079632675     		φ = 0.34065992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34065992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.518376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9710 KachelY 7286 0.58214571 0.34065992 33.354492 19.518376
    Oben rechts KachelX + 1 9711 KachelY 7286 0.58252920 0.34065992 33.376465 19.518376
    Unten links KachelX 9710 KachelY + 1 7287 0.58214571 0.34029844 33.354492 19.497664
    Unten rechts KachelX + 1 9711 KachelY + 1 7287 0.58252920 0.34029844 33.376465 19.497664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34065992-0.34029844) × R
    0.000361480000000025 × 6371000     		dl = 2302.98908000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34065992-0.34029844) × R
    0.000361480000000025 × 6371000     		dr = 2302.98908000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58252920) × cos(0.34065992) × R
    0.000383489999999931 × 0.94253438546029 × 6371000     		do = 2302.81395063973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58252920) × cos(0.34029844) × R
    0.000383489999999931 × 0.942655097658148 × 6371000     		du = 2303.10887646687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34065992)-sin(0.34029844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94253438546029-0.942655097658148)×R²
    abs(0.58252920-0.58214571)×0.000120712197857697×R²
    0.000383489999999931×0.000120712197857697×6371000²
    0.000383489999999931×0.000120712197857697×40589641000000     		ar = 5303695.04482625m²