Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9710 / 7270
↖ ↑ ↗
← N 19.849394°
E 33.354492°		 ← 2 298.06 m → N 19.849394°
E 33.376465°		 →
↑
2 298.27 m
↓
↑
2 298.27 m
↓
N 19.828725°
E 33.354492°		 ← 2 298.36 m →
5 281 915 m²		 N 19.828725°
E 33.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592681884765625 y=0.443756103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592681884765625 × 214)
    floor (0.592681884765625 × 16384)
    floor (9710.5)     		tx = 9710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443756103515625 × 214)
    floor (0.443756103515625 × 16384)
    floor (7270.5)     		ty = 7270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9710 / 7270 ti = "14/9710/7270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9710/7270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9710 ÷ 214
    9710 ÷ 16384     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7270 ÷ 214
    7270 ÷ 16384     		y = 0.4437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    0.112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.353582571597534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353582571597534))-π/2
    2×atan(1.4241605773105)-π/2
    2×0.958616802942669-π/2
    1.91723360588534-1.57079632675     		φ = 0.34643728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34643728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.849394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9710 KachelY 7270 0.58214571 0.34643728 33.354492 19.849394
    Oben rechts KachelX + 1 9711 KachelY 7270 0.58252920 0.34643728 33.376465 19.849394
    Unten links KachelX 9710 KachelY + 1 7271 0.58214571 0.34607654 33.354492 19.828725
    Unten rechts KachelX + 1 9711 KachelY + 1 7271 0.58252920 0.34607654 33.376465 19.828725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34643728-0.34607654) × R
    0.000360740000000026 × 6371000     		dl = 2298.27454000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34643728-0.34607654) × R
    0.000360740000000026 × 6371000     		dr = 2298.27454000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58252920) × cos(0.34643728) × R
    0.000383489999999931 × 0.940588397429256 × 6371000     		do = 2298.05948390114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58252920) × cos(0.34607654) × R
    0.000383489999999931 × 0.94071082510174 × 6371000     		du = 2298.35860100126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34643728)-sin(0.34607654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940588397429256-0.94071082510174)×R²
    abs(0.58252920-0.58214571)×0.000122427672484049×R²
    0.000383489999999931×0.000122427672484049×6371000²
    0.000383489999999931×0.000122427672484049×40589641000000     		ar = 5281915.38714338m²