Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9710 / 7262
↖ ↑ ↗
← N 20.014645°
E 33.354492°		 ← 2 295.66 m → N 20.014645°
E 33.376465°		 →
↑
2 295.85 m
↓
↑
2 295.85 m
↓
N 19.993998°
E 33.354492°		 ← 2 295.96 m →
5 270 839 m²		 N 19.993998°
E 33.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592681884765625 y=0.443267822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592681884765625 × 214)
    floor (0.592681884765625 × 16384)
    floor (9710.5)     		tx = 9710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443267822265625 × 214)
    floor (0.443267822265625 × 16384)
    floor (7262.5)     		ty = 7262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9710 / 7262 ti = "14/9710/7262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9710/7262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9710 ÷ 214
    9710 ÷ 16384     		x = 0.5926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7262 ÷ 214
    7262 ÷ 16384     		y = 0.4432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    0.113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356650533173218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58214571} λ = 0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356650533173218))-π/2
    2×atan(1.42853655647489)-π/2
    2×0.960058894212906-π/2
    1.92011778842581-1.57079632675     		φ = 0.34932146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34932146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.014645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9710 KachelY 7262 0.58214571 0.34932146 33.354492 20.014645
    Oben rechts KachelX + 1 9711 KachelY 7262 0.58252920 0.34932146 33.376465 20.014645
    Unten links KachelX 9710 KachelY + 1 7263 0.58214571 0.34896110 33.354492 19.993998
    Unten rechts KachelX + 1 9711 KachelY + 1 7263 0.58252920 0.34896110 33.376465 19.993998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34932146-0.34896110) × R
    0.000360359999999948 × 6371000     		dl = 2295.85355999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34932146-0.34896110) × R
    0.000360359999999948 × 6371000     		dr = 2295.85355999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58214571-0.58252920) × cos(0.34932146) × R
    0.000383489999999931 × 0.939605166456441 × 6371000     		do = 2295.65723944637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58214571-0.58252920) × cos(0.34896110) × R
    0.000383489999999931 × 0.939728442376819 × 6371000     		du = 2295.95842899829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34932146)-sin(0.34896110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939605166456441-0.939728442376819)×R²
    abs(0.58252920-0.58214571)×0.000123275920378529×R²
    0.000383489999999931×0.000123275920378529×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123275920378529×40589641000000     		ar = 5270838.64631303m²