Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 971 / 538
↖ ↑ ↗
← N 64.623877°
W  9.316406°		 ← 8 376.60 m → N 64.623877°
W  9.140625°		 →
↑
8 388.19 m
↓
↑
8 388.19 m
↓
N 64.548440°
W  9.316406°		 ← 8 399.84 m →
70 361 943 m²		 N 64.548440°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474365234375 y=0.262939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474365234375 × 211)
    floor (0.474365234375 × 2048)
    floor (971.5)     		tx = 971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262939453125 × 211)
    floor (0.262939453125 × 2048)
    floor (538.5)     		ty = 538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 971 / 538 ti = "11/971/538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/971/538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 971 ÷ 211
    971 ÷ 2048     		x = 0.47412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 538 ÷ 211
    538 ÷ 2048     		y = 0.2626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    0.474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49102932578223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16260196} λ = -0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49102932578223))-π/2
    2×atan(4.4416650872033)-π/2
    2×1.34934787967843-π/2
    2.69869575935685-1.57079632675     		φ = 1.12789943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12789943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.623877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 971 KachelY 538 -0.16260196 1.12789943 -9.316406 64.623877
    Oben rechts KachelX + 1 972 KachelY 538 -0.15953400 1.12789943 -9.140625 64.623877
    Unten links KachelX 971 KachelY + 1 539 -0.16260196 1.12658281 -9.316406 64.548440
    Unten rechts KachelX + 1 972 KachelY + 1 539 -0.15953400 1.12658281 -9.140625 64.548440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12789943-1.12658281) × R
    0.0013166200000001 × 6371000     		dl = 8388.18602000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12789943-1.12658281) × R
    0.0013166200000001 × 6371000     		dr = 8388.18602000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16260196--0.15953400) × cos(1.12789943) × R
    0.00306795999999998 × 0.428558646350392 × 6371000     		do = 8376.59579905065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16260196--0.15953400) × cos(1.12658281) × R
    0.00306795999999998 × 0.429747859113903 × 6371000     		du = 8399.84011980775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12789943)-sin(1.12658281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428558646350392-0.429747859113903)×R²
    abs(-0.15953400--0.16260196)×0.00118921276351025×R²
    0.00306795999999998×0.00118921276351025×6371000²
    0.00306795999999998×0.00118921276351025×40589641000000     		ar = 70361942.7843127m²