Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 971 / 1178
↖ ↑ ↗
← S 26.115986°
W  9.316406°		 ← 17.550 km → S 26.115986°
W  9.140625°		 →
↑
17.539 km
↓
↑
17.539 km
↓
S 26.273714°
W  9.316406°		 ← 17.527 km →
307.602 km²		 S 26.273714°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474365234375 y=0.575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474365234375 × 211)
    floor (0.474365234375 × 2048)
    floor (971.5)     		tx = 971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575439453125 × 211)
    floor (0.575439453125 × 2048)
    floor (1178.5)     		ty = 1178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 971 / 1178 ti = "11/971/1178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/971/1178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 971 ÷ 211
    971 ÷ 2048     		x = 0.47412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1178 ÷ 211
    1178 ÷ 2048     		y = 0.5751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16260196} λ = -0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.472466082655273))-π/2
    2×atan(0.623462859963627)-π/2
    2×0.557493192502727-π/2
    1.11498638500545-1.57079632675     		φ = -0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 971 KachelY 1178 -0.16260196 -0.45580994 -9.316406 -26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 972 KachelY 1178 -0.15953400 -0.45580994 -9.140625 -26.115986
    Unten links KachelX 971 KachelY + 1 1179 -0.16260196 -0.45856282 -9.316406 -26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 972 KachelY + 1 1179 -0.15953400 -0.45856282 -9.140625 -26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45580994--0.45856282) × R
    0.00275287999999996 × 6371000     		dl = 17538.5984799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45580994--0.45856282) × R
    0.00275287999999996 × 6371000     		dr = 17538.5984799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16260196--0.15953400) × cos(-0.45580994) × R
    0.00306795999999998 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 17550.4230326906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16260196--0.15953400) × cos(-0.45856282) × R
    0.00306795999999998 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 17526.6709571516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45580994)-sin(-0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.896689605254309)×R²
    abs(-0.15953400--0.16260196)×0.00121519022586358×R²
    0.00306795999999998×0.00121519022586358×6371000²
    0.00306795999999998×0.00121519022586358×40589641000000     		ar = 307601727.925972m²