Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97094 / 101527
↖ ↑ ↗
← S 69.800775°
E 86.676636°		 ← 105.46 m → S 69.800775°
E 86.679383°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 69.801724°
E 86.676636°		 ← 105.45 m →
11 119 m²		 S 69.801724°
E 86.679383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740772247314453 y=0.774593353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740772247314453 × 217)
    floor (0.740772247314453 × 131072)
    floor (97094.5)     		tx = 97094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774593353271484 × 217)
    floor (0.774593353271484 × 131072)
    floor (101527.5)     		ty = 101527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97094 / 101527 ti = "17/97094/101527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97094/101527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97094 ÷ 217
    97094 ÷ 131072     		x = 0.740768432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101527 ÷ 217
    101527 ÷ 131072     		y = 0.774589538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740768432617188 × 2 - 1) × π
    0.481536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51279268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774589538574219 × 2 - 1) × π
    -0.549179077148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.72529695422544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51279268} λ = 1.51279268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72529695422544))-π/2
    2×atan(0.178120150387348)-π/2
    2×0.176271489313387-π/2
    0.352542978626773-1.57079632675     		φ = -1.21825335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51279268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.676636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21825335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.800775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97094 KachelY 101527 1.51279268 -1.21825335 86.676636 -69.800775
    Oben rechts KachelX + 1 97095 KachelY 101527 1.51284062 -1.21825335 86.679383 -69.800775
    Unten links KachelX 97094 KachelY + 1 101528 1.51279268 -1.21826990 86.676636 -69.801724
    Unten rechts KachelX + 1 97095 KachelY + 1 101528 1.51284062 -1.21826990 86.679383 -69.801724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21825335--1.21826990) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21825335--1.21826990) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51279268-1.51284062) × cos(-1.21825335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345285499178018 × 6371000     		do = 105.459079097646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51279268-1.51284062) × cos(-1.21826990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345269966993875 × 6371000     		du = 105.454335168811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21825335)-sin(-1.21826990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345285499178018-0.345269966993875)×R²
    abs(1.51284062-1.51279268)×1.5532184143574e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5532184143574e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5532184143574e-05×40589641000000     		ar = 11119.3604733609m²