Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9709 / 7147
↖ ↑ ↗
← N 22.370396°
E 33.332519°		 ← 2 259.40 m → N 22.370396°
E 33.354492°		 →
↑
2 259.54 m
↓
↑
2 259.54 m
↓
N 22.350076°
E 33.332519°		 ← 2 259.73 m →
5 105 584 m²		 N 22.350076°
E 33.354492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592620849609375 y=0.436248779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592620849609375 × 214)
    floor (0.592620849609375 × 16384)
    floor (9709.5)     		tx = 9709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436248779296875 × 214)
    floor (0.436248779296875 × 16384)
    floor (7147.5)     		ty = 7147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9709 / 7147 ti = "14/9709/7147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9709/7147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9709 ÷ 214
    9709 ÷ 16384     		x = 0.59259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7147 ÷ 214
    7147 ÷ 16384     		y = 0.43621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59259033203125 × 2 - 1) × π
    0.1851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58176221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43621826171875 × 2 - 1) × π
    0.1275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.400752480823669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58176221} λ = 0.58176221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.400752480823669))-π/2
    2×atan(1.49294768958048)-π/2
    2×0.980616698984396-π/2
    1.96123339796879-1.57079632675     		φ = 0.39043707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58176221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.332519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39043707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.370396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9709 KachelY 7147 0.58176221 0.39043707 33.332519 22.370396
    Oben rechts KachelX + 1 9710 KachelY 7147 0.58214571 0.39043707 33.354492 22.370396
    Unten links KachelX 9709 KachelY + 1 7148 0.58176221 0.39008241 33.332519 22.350076
    Unten rechts KachelX + 1 9710 KachelY + 1 7148 0.58214571 0.39008241 33.354492 22.350076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39043707-0.39008241) × R
    0.000354660000000007 × 6371000     		dl = 2259.53886000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39043707-0.39008241) × R
    0.000354660000000007 × 6371000     		dr = 2259.53886000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58176221-0.58214571) × cos(0.39043707) × R
    0.000383500000000092 × 0.924742802569233 × 6371000     		do = 2259.40420754769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58176221-0.58214571) × cos(0.39008241) × R
    0.000383500000000092 × 0.924877725389341 × 6371000     		du = 2259.73386157322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39043707)-sin(0.39008241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924742802569233-0.924877725389341)×R²
    abs(0.58214571-0.58176221)×0.000134922820107963×R²
    0.000383500000000092×0.000134922820107963×6371000²
    0.000383500000000092×0.000134922820107963×40589641000000     		ar = 5105584.09395906m²