Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97077 / 101827
↖ ↑ ↗
← S 70.083369°
E 86.629944°		 ← 104.04 m → S 70.083369°
E 86.632691°		 →
↑
104.04 m
↓
↑
104.04 m
↓
S 70.084305°
E 86.629944°		 ← 104.04 m →
10 824 m²		 S 70.084305°
E 86.632691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740642547607422 y=0.776882171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740642547607422 × 217)
    floor (0.740642547607422 × 131072)
    floor (97077.5)     		tx = 97077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776882171630859 × 217)
    floor (0.776882171630859 × 131072)
    floor (101827.5)     		ty = 101827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97077 / 101827 ti = "17/97077/101827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97077/101827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97077 ÷ 217
    97077 ÷ 131072     		x = 0.740638732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101827 ÷ 217
    101827 ÷ 131072     		y = 0.776878356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740638732910156 × 2 - 1) × π
    0.481277465820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.51197775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776878356933594 × 2 - 1) × π
    -0.553756713867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73967802411146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51197775} λ = 1.51197775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73967802411146))-π/2
    2×atan(0.175576923052885)-π/2
    2×0.173805391359049-π/2
    0.347610782718098-1.57079632675     		φ = -1.22318554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51197775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.629944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22318554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.083369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97077 KachelY 101827 1.51197775 -1.22318554 86.629944 -70.083369
    Oben rechts KachelX + 1 97078 KachelY 101827 1.51202569 -1.22318554 86.632691 -70.083369
    Unten links KachelX 97077 KachelY + 1 101828 1.51197775 -1.22320187 86.629944 -70.084305
    Unten rechts KachelX + 1 97078 KachelY + 1 101828 1.51202569 -1.22320187 86.632691 -70.084305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22318554--1.22320187) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dl = 104.038430000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22318554--1.22320187) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dr = 104.038430000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51197775-1.51202569) × cos(-1.22318554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34065246921254 × 6371000     		do = 104.044032491999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51197775-1.51202569) × cos(-1.22320187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340637115876065 × 6371000     		du = 104.039343187845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22318554)-sin(-1.22320187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34065246921254-0.340637115876065)×R²
    abs(1.51202569-1.51197775)×1.53533364752878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53533364752878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53533364752878e-05×40589641000000     		ar = 10824.3338576985m²